Matematické Fórum

Kotlopou · 10. 11. 2017 13:35

Mějme n-rozměrnou krychli o hraně délky d. V ní náhodně rozmístíme m bodů. Jestliže přidáme další bod, jaká bude jeho průměrná vzdálenost od nejbližšího bodu v závislosti na d,m,n? Primitivní řešení (rozdělit objem krychle mezi body a podle objeu na bod spočítat vzdálenosti) nedává výsledky naměřené pomocí počítačového programu.

Zatím jsem se dostal jen k tomu, že to bude d krát vnořené určité integrály podle všech souřadnic všech bodů. Netuším ale, jak to zobecnit nebo jak to ve výsledku počítat.

P.S. Nevím, jestli je tohle správná sekce. Případně se omlouvám.

Rumburak

↑ Kotlopou:
Ahoj.
Připadá mi, že jde o úlohu z teorie pravděpodobnosti, kdy nás zajímá zjistit
střední hodnotu jakési náhodné veličiny. Myslím, že výsledk bude záviset na tom,
jak je stanoveno náhodné rozdělní polohy bodu v krychli.

jarrro · 10. 11. 2017 17:31

Ak správne chápem, že ide o rovnomerne generované body, tak ide o výpočet integrálu $\frac{1}{d^{2m+2}}\int_{0}^{d}\cdots\int_{0}^{d}{\min{\{\sqrt{$x_{m+1}-x_i$^2+$y_{m+1}-y_i$^2};i=1,2, \cdots ,m\}}\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_{m+1}\mathrm{d}y_1\cdots\mathrm{d}y_{m+1}}$
Čo sa pravdepodobne analyticky dá spočítať, ale žiadny efektívny spôsob mi nenapadá už pri m=1 je výsledok dosť divoký

Kotlopou · 11. 11. 2017 22:54

↑ Rumburak:

Náhodné rozdělení je stanoveno tak, že se vyberou náhodné souřadnice od 0 do d (se stejnou pravděpodobností všech výsledků), takže všechny body v krychli mají stejnou pravděpodobnost. Výsledek by tak měl být integrál přes všechny možné hodnoty.

↑ jarrro:

Asi mi uniká, kde se vzalo 2m+2.

jarrro · 12. 11. 2017 07:19

↑ Kotlopou:máme m+1 bodov (m pôvodných a jeden od ktorého skúmame vzdialenosť) a každý bod je určený 2mi súradnicami $2$m+1$=2m+2$

Kotlopou · 12. 11. 2017 12:24

↑ jarrro:

Pardon, špatně jsem se vyjádřil, ale už chápu. Počítal jsem to totiž s integračními mezemi 0 a 1, takže jsem tam ten člen neměl. Ten zápis je jen pro dva rozměry?

jarrro · 12. 11. 2017 13:56 — Editoval jarrro (12. 11. 2017 16:05)

Keď máš rovnomerné rozdelenie na <0,d> tak hustota je $\frac{1}{d}$ ak predpokladám nezávislosť tak 2m+2 rozmerná hustota je $\frac{1}{d^{2m+2}}$
Aha to sme vlastne iba pri n=2
Pre všeobecné n by to malo byť
$\frac{1}{d^{n$m+1$}}\int\limits_{0}^{d}\cdots\int\limits_{0}^{d}{\min{\{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n{$x_{k,m+1}-x_{k,i}$^2}};i=1,2, \cdots ,m\}}\mathrm{d}x_{1,1}\cdots\mathrm{d}x_{1,m+1}\cdots\mathrm{d}x_{n,1}\cdots\mathrm{d}x_{n,m+1}}$
Kde $x_{i,j}$ je ita súradnica jteho bodu

Kotlopou · 12. 11. 2017 20:43

Dobře, ale jak to potom počítat? Díval jsem se na ten příklad se čtvercem a dvěma body, a ty techniky asi nepůjdou zobecnit (resp. je to rozhodně nad moje schopnosti). A integrovat minimum asi nebude moc jednoduché. Nejdou ty integrály nějak redukovat?

jarrro · 13. 11. 2017 07:49

Možno by išlo využiť, že
$F_{\min{\{Z_i,i=1,\cdots n\}}}{$t$}=1-\prod\limits_{i=1}^{n}{$1-F_{Z_i}{\(t$}\)}$
Kde $F_Z$ je distridučná funkcia náhodnej premennej Z
Rozdelenia tých odmocnín nájsť transformáciou, ale či je to najefektívnejšie to nezaručujem

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2017 13:35

Vzdálenosti bodů v krychli

#2 10. 11. 2017 15:52 — Editoval Rumburak (10. 11. 2017 15:54)

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#3 10. 11. 2017 17:31

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#4 11. 11. 2017 22:54

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#5 12. 11. 2017 07:19

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#6 12. 11. 2017 12:24

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#7 12. 11. 2017 13:56 — Editoval jarrro (12. 11. 2017 16:05)

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#8 12. 11. 2017 13:57 Příspěvek uživatele jarrro byl skryt uživatelem jarrro. Důvod: Duplicita

#9 12. 11. 2017 20:43

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

#10 13. 11. 2017 07:49

Re: Vzdálenosti bodů v krychli

Zápatí