Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 05. 12. 2017 20:30 — Editoval sio (05. 12. 2017 20:30)
Grupy
Dobrý deň,
potreboval by som pomôcť s nasledujúcim príkladom:
množina A = {0,1,...,n−1} a operacia a•b = (a·b) modulo n pre \forall a,b ∈ A. Dokažte že A - {0} s operaciou • je komutativna grupa, právě ked n je prvočíslo.
Potrebujem nájsť spôsob ako dokázať, že je to grupa - neutrálny prvok je zrejmý, je to 1. Neviem však dokázať, že platí asociatívnosť a že každý prvok ma inverzný prvok.
Ďakujem.
Offline
#2 05. 12. 2017 23:15 — Editoval Darko (05. 12. 2017 23:18)
Re: Grupy
Jde ti jen o inverzní prvek, ostatní je jasné.
Inverzní prvek existuje jen v množinách do prvočísla, protože má platit
Třeba v 
, x není prvočíslo, můžeš napsat x jako součin 2 čísel 
(Edit: =x v Z, ale 0 v Zˇx), přičemž a,b jsou prvky z množiny a nejsou rovny 0.
Ale 
je nesmysl , protože a není 0 a 0*cokoliv bude vždy 0, proto inverze neexistuje.
Offline
#3 05. 12. 2017 23:26
Re: Grupy
Ak správne rozumiem, toto dokazuje, že ak n (x) je prvočíslo, potom inverzný prvok neexistuje. Rozumiem tomu správne? Prípadne bolo by možné to trošku viac ozrejmiť a vysvetliť ako to dokazuje, že ak n je prvočíslo, tak existuje pre každy prvok inverzný prvok? Ďakujem.
Offline
#4 05. 12. 2017 23:54 — Editoval Darko (06. 12. 2017 00:04)
Re: Grupy
↑ sio:
když n je prvočíslo a máš prvky do n-1, nemůžeš v Z n napsat jinak než 1*n, ale n v n-1 není, proto to nejde.
Když n je prvočíslo a máš tedy n-1 , žádný součin není roven 0, kromě právě 0.
Proč jinak vždy existuje inverze?
v , x je prvočíslo
a*b + k*x = 1 (Rozšířený euklidův algoritmus)
protože gcd(a,x) = 1
k*x = 0
--> b je inverzní k a
Offline
#6 06. 12. 2017 04:01 — Editoval vanok (06. 12. 2017 12:37)
Re: Grupy
Ahoj ↑ sio:,
Tvoje cvicenie sa da vyjadrit aj takto:
( operacie +,. su nasobenie modulo n) je pole (=komutativne teleso) len a len ak n je prvocislo.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#8 06. 12. 2017 14:04
Re: Grupy
↑ sio: ,y
Dokaz, co je vyssie naznaceny to dokazuje.
Pre +, to iste vies urobit.
Pre ., vsak jeden dokaz uz mas.
Ale mozes si precitat toto https://www3.nd.edu/~sevens/znzstar.pdf
Ak chces vediet viac pozri napr. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Multipl … s_modulo_n
Alebo aj http://mathworld.wolfram.com/ModuloMult … Group.html
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline