Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý deň,
potreboval by som pomôcť s nasledujúcim príkladom:
množina A = {0,1,...,n−1} a operacia a•b = (a·b) modulo n pre \forall a,b ∈ A. Dokažte že A - {0} s operaciou • je komutativna grupa, právě ked n je prvočíslo.
Potrebujem nájsť spôsob ako dokázať, že je to grupa - neutrálny prvok je zrejmý, je to 1. Neviem však dokázať, že platí asociatívnosť a že každý prvok ma inverzný prvok.
Ďakujem.
Offline
Jde ti jen o inverzní prvek, ostatní je jasné.
Inverzní prvek existuje jen v množinách do prvočísla, protože má platit
Třeba v , x není prvočíslo, můžeš napsat x jako součin 2 čísel (Edit: =x v Z, ale 0 v Zˇx), přičemž a,b jsou prvky z množiny a nejsou rovny 0.
Ale je nesmysl , protože a není 0 a 0*cokoliv bude vždy 0, proto inverze neexistuje.
Offline
Ak správne rozumiem, toto dokazuje, že ak n (x) je prvočíslo, potom inverzný prvok neexistuje. Rozumiem tomu správne? Prípadne bolo by možné to trošku viac ozrejmiť a vysvetliť ako to dokazuje, že ak n je prvočíslo, tak existuje pre každy prvok inverzný prvok? Ďakujem.
Offline
↑ sio:
když n je prvočíslo a máš prvky do n-1, nemůžeš v Z n napsat jinak než 1*n, ale n v n-1 není, proto to nejde.
Když n je prvočíslo a máš tedy n-1 , žádný součin není roven 0, kromě právě 0.
Proč jinak vždy existuje inverze?
v , x je prvočíslo
a*b + k*x = 1 (Rozšířený euklidův algoritmus)
protože gcd(a,x) = 1
k*x = 0
--> b je inverzní k a
Offline
Ahoj ↑ sio:,
Tvoje cvicenie sa da vyjadrit aj takto:
( operacie +,. su nasobenie modulo n) je pole (=komutativne teleso) len a len ak n je prvocislo.
Offline
↑ sio: ,y
Dokaz, co je vyssie naznaceny to dokazuje.
Pre +, to iste vies urobit.
Pre ., vsak jeden dokaz uz mas.
Ale mozes si precitat toto https://www3.nd.edu/~sevens/znzstar.pdf
Ak chces vediet viac pozri napr. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Multipl … s_modulo_n
Alebo aj http://mathworld.wolfram.com/ModuloMult … Group.html
Offline