Matematické Fórum

dominiksep · 16. 01. 2018 18:22

Ahoj,
potřeboval bych poradit s následujícím přikladem:
Vyšetřete lokální extrémy funkce uvnitř jejího definičního oboru, $n\ge 2$
$f(x_1,x_2, \ldots , x_n) = \sqrt{(x_1+x_2+\ldots x_n-a)(a-x_1)(a-x_2)\cdots (a-x_n)}$
Zasekl jsem se už u toho, jak určit stacionární body. Vím, že se to nejlépe řeší, když si to člověk zapíše do sum a produktů, mám tedy:
$f(x_1,x_2, \ldots , x_n) = \sqrt{\left(\sum_{k=1}^{n}x_k-a\right)\prod_{k=1}^{n}(a-x_k)}$
Parciální derivace podle i-té proměnné - počítám jako derivaci součinu:
$f'_{i}(x_1,x_2, \ldots , x_n) =\frac{1}{2f(x_1,x_2, \ldots , x_n)}\left(1\cdot \prod_{k=1}^{n}(a-x_k) - \left(\sum_{k=1}^{n}x_k-a\right)\prod_{k=1, k\ne i}^{n}(a-x_k)\right)$
Zároveň chci
$f'_{i}(x_1,x_2, \ldots , x_n) = 0$
takže mám soustavu n rovnic pro n neznámých. První otázka bude asi znít, jak ji vyřešit?
Díky

Marian · 16. 01. 2018 20:56

↑ dominiksep:

Pouze v krátkosti první pozorování, které může pomoci. V poslední závorce uvedené v první derivaci vytkni druhý "méně obsažný" součin. Výraz vzniklý po vytknutí zjednoduš a ze součinového tvaru derivace vyloučením okrajových nulových bodů najdi jednodušší soustavu, z níž dostaneš odpovídající stacionární body.

Věřím, že kolegové se jistě připojí...

Marian · 17. 01. 2018 17:18

↑ dominiksep:

Mám takový pocit, že se snažíš dvojnásobně (ale doufám, že se pletu), viz zde.

Ovšem uvedený příspěvek od @Michael Rozenberg neodpovídá na dotaz v tamním příspěvku. Dostat stacionární bod (bude jediný) je v tomto případě relativně jednoduché. O trochu horší je zjistit, že v takovém bodě je lokální maximum, ale nemožné to není...

dominiksep · 17. 01. 2018 22:28

↑ Marian:
No, ono nás to řeší víc, kámoš má radši Math Stack :-D . Jinak jo, našel sice maximum a minimum, ale můžou tam být i další extrémy a ještě k tomu tam není uvedeno, v kterých bodech...

Jinak podle Tvého postupu mi vyjde:
$f'_{i}(x_1,x_2, \ldots , x_n) =\frac{1}{2f(x_1,x_2, \ldots , x_n)}\prod_{k=1, k\ne i}^{n}(a-x_k)\left(a-x_i - \sum_{k=1}^{n}x_k+a\right)=0$
což je pravda buď pro $x_k=a$ nebo $2a-x_i - \sum_{k=1}^{n}x_k=0$
Ale jak s tím naložit dál. Je jasné, že první ze dvou řešení, tedy všechna x rovna a, je uvnitř definičního oboru a je to právě to minimum, o kterém se tam mluví. Ale co s tím druhým výrazem? Opět dostávám soustavu n rovnic, ale jak ji upravit dál, abych dostal výsledek. Něco mi říká, že kdybych to nějak pěkně posčítal, tak by se mi mohlo něco vymlátit.

Marian · 18. 01. 2018 09:29 — Editoval Marian (18. 01. 2018 09:30)

↑ dominiksep:

x_k = a vyloučíme kvůli jejímu výskytu na okraji definičního oboru. Navíc tam funkce nabývá globálního minima.

Co se týče rovnic n rovnic, které uvádíš, dostaneš soustavu tvaru

2x_1 + x_2 + ... + x_n = 2a,
x_1 + 2x_2 + ... + x_n = 2a,
......................................
x_1 + x_2 + ... + 2x_n = 2a.

Prvky matice soustavy A = (a_ij) mají tvar a_ij = 1+delta_ij, kde delta_ij značí Kroneckerovo delta. Úpravou rozšířené matice soustavy na Gaußův stupňový tvar se dostaneš k jejímu řešení

x_1 = x_2 = ... = x_n = DOPLŇ

Dále budeš muset vypočítat druhé parciální derivace a vyšetřit existenci a povahu lokálního extrému v bodě x_0 = (x_1, x_2, ..., x_n).

Poznámka: Doporučuji přeskočit triviální případ n = 1, ve kterém nemá smysl hledat lokální extrém.

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2018 18:22

Vyšetřete lokální extrémy fce n proměnných

#2 16. 01. 2018 20:56

Re: Vyšetřete lokální extrémy fce n proměnných

#3 17. 01. 2018 17:18

Re: Vyšetřete lokální extrémy fce n proměnných

#4 17. 01. 2018 22:28

Re: Vyšetřete lokální extrémy fce n proměnných

#5 18. 01. 2018 09:29 — Editoval Marian (18. 01. 2018 09:30)

Re: Vyšetřete lokální extrémy fce n proměnných

Zápatí