Matematické Fórum

už som pochopil! :D Sorry! :D

....premýšlal som nad tým celým a uvedomil som si, že chápem celý príklad zle...

Plz., predpokladajte že som blebeček a ako takému mi príklad vesvetlite...

Ďakujem... :/

↑ Rumburak:

Ahoj! :)

A ďakujem moc za tvoj čas :).

Uhm...nie som až tak úplne začiatočník v limitách, iba som hrrrrooozne moc zabudol :D .

Každopádne, pokiaľ ide o a) riešil by som:

Zadám ľubovoľné Epsilon a tvrdím, že nájdem Delta také, že pre každé x nachádxajúce sa v intervale (a - delta,a + delta) (a je bod  kde hladám limitu),  bude platiť, že f(x) sa bude nachádzať v intervale (L -Epsilon, L + Epsilon), kde L je limita v bode a.

Toľko k teórií :)

Takže pre Epsilon = 1

abs(2x - 0) < 1 a abs(x - 0) < Delta a teda abs(x) < 1/2.... Takže Delta je 1/2 v tomto prípade....
Ak zadám Epsilon = 1/2, rovnakou cestou ukážem že Delta je 1/4.



....teraz asi budem potrebovať použiť matematickú indukciu (ajaj :D ) a ukázať, že pre postupnosť Epsilonov napríklad ɛ_{n} = 1/n, n ide do nekonečna,  nájdem postupnosť pre δ_{n} = 1/2n a táto postupnosť bude platiť pre pre každé ďalšie  n+1...

....takže, ako som už ukázal...

ɛ_{1} = 1/1, δ_{1}= 1/2
ɛ_{2}= 1/2, δ_{2} = 1/4
ɛ_{3} = 1/3, δ_{3} = 1/6
ɛ_{4} = 1/n,δ_{4} = 1/2n

....aehem.... "je triviálne dokázať, že vzťah skutočne platí a že pre ɛ_{n + 1} = 1/(n+1) je δ_{n + 1} = 1/2(n+1) a pozorný čiťateľ si dokončí dôkaz vo svojom voľnom čase"

- Každá Učebnica Matematiky Na Svete

:D :D :D :D

Takže, ako si čitateľ "dokázal" že nachádzame postupnosť, stačí už len ukázať, že limita (f(a) + ɛ_{n}) = limita (f(a) - ɛ_{n}) a pretože f(a) je 0 a ɛ_{n} sa limitne blíži k 0, je dokaz dokončený.

:D :D :D


b) Ako sme v a) prekázali, lim f(a) =0 a teda dôkaz sporom, ak tvrdím že lim f(x) = 1, musí sa lim (+ -ɛ_{n} + f(a)) = 1 pre lim δ_{n}  ale f(a) = 0 a lim ɛ_{n} = 0, čo je spor, a teda Quod Erat Demonstrandum.

:D :D :D

Robím si srandu, netuším čo som práve napísal :'(

Prosím o pomoc https://imgur.com/a/HH9ZB



EDIT : práve som si uvedomil, že b) poríklad je iná funkcia, ale postupoval by som rovnako, ukázal by som, že limitou je 0 a následne sporom ukázal, že ak je 0, nemôže byť 1....

...premýšlam (len tak pragmaticky) že je asi sprostoť tvrdiť že "funkcia je v bode a spojitá a ja vypočítam jej limitu tak, že ti poviem jej funkčnú hodnotu v a tú znepresním ju o +-ɛ, ale matematicky by to malo byť korektné a odpoveď na otázku ktorá mi bola položená :D

Každopádne ma odpoveď v učebnici nejak neuspokojila, pretože v predchádzajúcom príklade limitu "dokázali" tak, že našli proste 3 ɛ pre ktoré našli 3 δ a tvrdili "yop, takto by to bolo pre všetky prípady". 3 sú o dosť menej než nekonečne veľa... :D

↑ Peter_CSR:

Nejprve poznámka:

Pokud víme, že funkce je v daném bodě spojitá, pak její hodnota v tomto bodě bude
zároveň její limitou, stačí porovnat definici spojitosti funkce v bodě s definicí její vlastní limity
v tomto bodě.

Příklad k hlavnímu tématu:

Uvažujme funkci   pro (tj. její případná hodnota v nule
nás vůbec nezajímá) a dokažme, že   .  Postupujme podle Cauchyho
definice.

Nechť   (s "abstraktní" podobou předpokladu nutno vystačit).  Hledáme  
(obecně závisející na ) takové, aby pro libovolné   platilo 

(1)                    .

Odtud úpravami

                      ,
                      ,
                      ,
(2)                  .

Všimni si, že nerovnici (2) jsme z nerovnice (1) zíslkali pouze ekvivalentnímí úpravami
(za výše uvedeného předpokladu ),  takže také z (2) pak plyne (1). Nyní stačí v (2)
položit (je zřejmé, že ).

Ukázali jsme: 
K libovolně danému lze nalézt (např. ) takové,  že pro llbovolné
platí    .

Pole Cauchyovy definice vlastní limity ve vlastním bodě to znamená, že

                              .

Obecnější případ vlastní limity v nenulovém vlastním bodě je jen o málo složitější a lze ho
případně snadno zvládnout substitucí.

...pozerám na to a stále ma nenapadá... Problém vidím tu: " k libovolnému reálnému číslu epsilon kladnému  existuje takové delta kladné". Keby to bolo opačne, bolo by to hotové: nenájdem ľubovoľné delta, ale takto...

↑ misaH:

presne tak. Napadlo ma to práve teraz.

opravím sa zajtra, už je neskoro.

↑ Peter_CSR:

Ahoj.
Tvoji zprávu jsem zaznamenal, ale bohužel se mi ztratila.
Také nevím, ke kterému konkretnímu příkladu se Tvá posledné prosba vztahuje.
Můžeš ho připomenout ?

↑ misaH:

Patrně ano, ale v tomto vlákně už je toho tolik, že to "začíná" být nepřehledné.
Případný odkaz pomůže a neuškodí. :-)

↑ misaH:

No uvidíme. Napsal jsem mu příklad na důkaz, že ,
klidně s ním proberu i příklad na důkaz, že ,
když bude mít zájem a takový příklad (přiměřeně jednoduchý) si vymyslí .

:D :D :D

Ahoj, čítam vašu konverzáciu. Ešte popremýšlam nad poznámkami MisiH a pokúsim sa svoju otázku zformulovať jasne a presne. :)

Za prípadnú neprehľadnosť threadu sa ospravedlňujem.