Matematické Fórum

thatsmis · 10. 02. 2018 16:17

Ahoj, mám problém s týmto príkladom z Petákovej (str.49/79):

V trojuhelníku ABC známe délku strany $b=8cm$ , velikost úhlu $\alpha =30°$ . Proveďte diskusi o počtu řešení a vždy vypočítejte velikost úhlu $\beta$ , jestliže délka strany a postupně nabýva hodnot z množiny $a \in \{2,4,6,8,10\}$ .

Pri prvej hodnote, mi to vyšlo, že sa nedá zostrojiť, čo je v poriadku, tak je aj vo výsledkoch. Ale pri hodnote $a=4$ , mi vyšlo nasledovné:

$4^{2}=64+c^{2}-2*8*c*\cos 30°$

$c^{2}-8\sqrt{3}c+48=0$

Dostávam $c=4\sqrt{3}$ . Uhol beta dopočítam kosínusovou vetou nasledovne:

$64=16+16*3-2*4*4\sqrt{3}*\cos \beta$

$\cos \beta =0$

čiže $\beta =90°$ . Overovala som si to aj pytagorovou vetou, aj trojuholníkovou nerovnosťou a výchadza mi, že ten trojuholník existuje. Avšak Petáková má vo výlsedok, že neexistuje. Kde prosím robím chybu ?

laszky · 10. 02. 2018 16:42

Mne vychazi, ze pokud

$a < b\sin\alpha$ potom je 0 reseni

$a = b\sin\alpha$ potom je 1 reseni

$b>a>b\sin\alpha$ potom jsou 2 reseni

$a\geq b$ potom je 1 reseni

thatsmis · 10. 02. 2018 17:41

↑ laszky: na to si prišla ako prosím ?

laszky · 10. 02. 2018 18:01

↑ thatsmis:

Muzes si zkusit napr. nakreslit obrazek, z kteryho zjistis ze $a$ je minimalni v pravouhlem trojuhelniku (uhel beta pravy, $a=b\sin\alpha$ ) a ze dokud $a<b$ jsou dve reseni. Podminka na minimalni hodnotu $a$ je rovnez videt z diskriminantu te kvadraticke rovnice pro $c$ (kdyz tam nedosadis konkretni data).