Matematické Fórum

BobMarley · 24. 02. 2018 01:35

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, v jaké fázi výpočtu limity mohu korektně aplikovat aritmetiku limit, je to až ve chvíli, kdy vím, jaké limity mají dílčí funkce?

Uvažujme limitu:
$\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}. \frac{x+1}{x+1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.{(x+1)}=...$

nyní mám několik možností:
1. vidím že argument funkce sinus jde k nule (vzhledem k limitnímu bodu). Bude se tedy jednat o známou limitu. Druhý činitel je roven po dosazení (využití spojitosti a limity) roven 2. V tuto chvíli mohu využít aritmetiku limit, znám dílčí limity a jejich součin není neurčitý výraz:
$\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}. \frac{x+1}{x+1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.{(x+1)}=\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.\lim_{x \rightarrow1}{(x+1)} = 1.2 = 2$
2. využití věty o limitě složené funkce: zde nevím. Mohu aplikovat aritmetiku limit na limitu, u níž neznám hodnotu jedné dílčí limity funkce (řekněme, že nevím jaká bude hodnota druhé dílčí limity, tj počítat dále takto $\lim_{x \rightarrow1} (x+1) .\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}$ a v dalším kroku zavést substituci ve druhé limitě $y=x^2-1$ a poté pokračovat k výsledku? Nejedná se dle http://wiki.matematika.cz/index.php/Ryc … unkc%C3%AD o porušení pravidla o aplikaci aritmetiky limit, protože v době, kdy jsem aplikoval větu o limitě součinu, tak jsem neznal hodnotu druhé limity?K neurčitému výrazu nepovede, ale mohlo by se stát, že druhá limita nebude existovat. Neměl bych spíše pokračovat tak, že na limitu:
$\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}. \frac{x+1}{x+1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.{(x+1)}$ aplikuju větu o limitě složené funkce a zavést substituci $y = x^2-1$ ?
Čemu se poté bude rovnat $x$ ve činiteli součinu $x+1$ , $|x| = \sqrt{(y+1)}, x \geq 0; x = \sqrt{(y+1)}; x < 0; x = -\sqrt{(y+1)}$ ?

Stýv · 24. 02. 2018 08:46

Kde se tam píše, že bys měl hodnoty jednotlivých limit znát? Je potřeba, aby existovaly a aby výsledný výraz byl definovaný. To obvykle zjistíš až na konci výpočtu, takže si třeba k tomu "=" napiš otazníček, a když by to náhodou nevyšlo, tak to celý škrtneš a zkusíš nějak jinak. Pokud to vyjde, tak škrtneš jenom ten otazníček.

BobMarley · 24. 02. 2018 09:12

↑ Stýv:
Děkuji za odpověď.
Takže dostanu zadanou limitu, počítám, využívám aritmetiky limit dle libosti a na konci výpočtu ověřím, zda je daný výraz definovaný?

Stýv · 24. 02. 2018 11:54

Jo, tak nějak.

BobMarley · 24. 02. 2018 11:56

↑ Stýv:
Takže (ve velkých uvozovkách):
" Limitu počítáme stylem : zkus a uvidíš. Pokud to nevyjde, začnu znovu a jinak."

Moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2018 01:35

Aritmetika limit

#2 24. 02. 2018 08:46

Re: Aritmetika limit

#3 24. 02. 2018 09:12

Re: Aritmetika limit

#4 24. 02. 2018 11:54

Re: Aritmetika limit

#5 24. 02. 2018 11:56

Re: Aritmetika limit

Zápatí