Matematické Fórum

LamaGanja · 03. 05. 2009 15:31

Takže jsem tu zase, ale tentokrát se slovní úlohou. Takže tady je zadání a prosil bych o nějaké vodítka.

Zadání: Půdorys divadelního jeviště je sjednocením obdélníku a půlkruhu. Obvod půdorysu je 40m. Určete rozměry půdorysu, víte-li, že byly stanoveny tak, aby obsah půdorysu jeviště byl co největší.

svatý halogan

Předpokládám, že kruh bude napojen na delší stranu (dejme tomu A) obdélníku a mohu tedy počítat, že obvod bude následující:

$o = A + 2B + \pi \frac{A}{2} = 40 \nl S = AB + \pi \frac{A^2}{8} \nl S = A^2 \cdot (\frac{\pi}{8}) + A \cdot (B)$

Máme tedy kvadratickou rovnici a zajímá nás, kde bude její extrém (resp. maximum). Ještě ale musíme za B dosadit vyjádřené B z rovnice obvodu.

Edit: samozřejmě /8, už jsem přemýšlel moc dopředu :)

LamaGanja · 03. 05. 2009 15:55

↑ svatý halogan:

Ale když už v celkovém obsahu počítám celý obdelník, neměl bych počítat už jen s polovinou obsahu kruhu? Takže by vzorec byl $S=AB+\frac{\pi A^2}{8}$ ?

jelena · 03. 05. 2009 16:13

↑ LamaGanja:

u kolegy pravděpodobně jen drobny překlep, překontroluji si to - myslím, že tvoj návrh vzorce OK.

↑ svatý halogan: moc zdravím a děkuji :-) a opět zmiznu k tabulkam

LamaGanja · 03. 05. 2009 16:20

↑ jelena:

Takže nyní mám $S=A^2(\frac{\pi}{8})+A(\frac{40-A(\frac{\pi}{2})-A}{2})$ a co mám teď udělat?

jelena · 03. 05. 2009 16:27

přepiš to jako funkci f(x)

$f(x)=x^2(\frac{\pi}{8})+x\left(\frac{40-x(\frac{\pi}{2})-x}{2}\right)$

trochu to uprav a budeš hledat max. funkce f(x) - tedy 1. derivace atd. - to už umíš.

OK?

LamaGanja · 03. 05. 2009 16:40

↑ jelena:

Nemohl bych dostat ještě jeden krok úpravy s kterou funkcí bych mohl pak pracovat, nějak se dostavám do divných tvarů

svatý halogan · 03. 05. 2009 16:44

$f(x) = x^2 \cdot (\frac{\pi}{8}) + 20x - x^2 \cdot (\frac{\pi}{4}) - \frac{x^2}{2}$

Teď to nějak zkondenzovat dohromady a derivovat klasicky podle x. Všechno ostatní jsou konstanty. Třeba vytkni x^2.

LamaGanja · 03. 05. 2009 17:06

↑ svatý halogan:

Takže mám $f(x)=20x-(x^2)(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2})$ a první derivace je $f'(x)=-\frac{1}{4}(\pi*x+4*x-80)$ , z toho mám kořen $x=\frac{80}{\pi+4}$ , ale nějak nechápu, co mi to pomůže k tomu, abych dostal hodnoty jednotlivých stran :(

jelena · 03. 05. 2009 17:17

↑ LamaGanja:

x jsme napsali misto A - tedy máš nalezenou stranu A. Výpocty jsem nekontrolovala.

LamaGanja · 03. 05. 2009 17:30

↑ jelena:

Tak strana B mi vyšla $\frac{40}{\pi+4}$ , takže to je polovina A a to by logicky i mohlo sedět, takže děkuji za pomoc.

Dáda78 · 26. 02. 2018 18:14

Ahoj, můžu poprosit zpětně o vysvětlení toho, proč je zde vzorec na obvod a obsah půdorysu uveden tak, jak je?

Mně vyšlo $O=2(a+b)-2r+\Pi r$ , tedy od obvodu obdélníku jsem odečetl průměr kruhu a přičetl obvod půlkruhu.

Podobně mám obsah jako $S=(a*b) + \frac{\Pi r^{2}}{2}$ , tedy k obsahu obdélníku jsem přičetl obsah půlkruhu.

Chápu, že vy zde to máte správně, ale než jen tupé přijmutí toho vzorce jako fakt bych rád znal jeho odvození. Možná je chyba v tom, že jsem si vše už v počátku špatně načrtl a chybně si tak půdorys představuji, nevím. Jedno je ale jisté - za použití těch mých dvou vzorečků to je (minimálně pro mě :D ) neřešitelné, mám tam o jednu neznámou v podobě poloměru navíc.

laszky · 26. 02. 2018 18:26

↑ Dáda78:

$r=\frac{a}{2}$

Dáda78 · 26. 02. 2018 19:04

↑ laszky:

Díky moc za odpověď.. Takže je to tak, jak jsem si to myslel, mám je špatnej náčrt :D

Bral jsem to tak, že ten půlkruh nemusí hned navazovat,že jeho průměr není celá strana, ale že je to jen takový výkroj ven.. Asi málo chodím do divadla, díky moc.. :D

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2009 15:31

Slovní úloha

#2 03. 05. 2009 15:46 — Editoval svatý halogan (03. 05. 2009 16:29)

Re: Slovní úloha

#3 03. 05. 2009 15:55

Re: Slovní úloha

#4 03. 05. 2009 16:13

Re: Slovní úloha

#5 03. 05. 2009 16:20

Re: Slovní úloha

#6 03. 05. 2009 16:27

Re: Slovní úloha

#7 03. 05. 2009 16:40

Re: Slovní úloha

#8 03. 05. 2009 16:44

Re: Slovní úloha

#9 03. 05. 2009 17:06

Re: Slovní úloha

#10 03. 05. 2009 17:17

Re: Slovní úloha

#11 03. 05. 2009 17:30

Re: Slovní úloha

#12 26. 02. 2018 18:14

Re: Slovní úloha

#13 26. 02. 2018 18:26

Re: Slovní úloha

#14 26. 02. 2018 19:04

Re: Slovní úloha

Zápatí