Matematické Fórum

AterCZ · 06. 03. 2018 16:42

Ahoj,
mohl bych poprosit o pomoc s výpočtem této limity?
$\lim_{x\to1}\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}$
Zkoušel jsem polynom $x$ vydělit polynomem ${(1-x^{2})^{2}}$ , ale nešlo mi to. Tuto limitu hledám, jelikož se snažím najít průběh funkce $\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}$

laszky · 06. 03. 2018 16:53

Vyuzij $(1-x^2)^2\geq 0$ spolecne s $\lim_{x\to1} x=1$ a $\lim_{x\to1} (1-x^2)^2=0$

MichalAld · 06. 03. 2018 17:06

Na tom v podstatě není co počítat, to není žádný "neurčitý výraz".

Něco dělené nulou je vždy nekonečno, buď plus nebo minus.

Je potřeba jen zjistit, jestli to jde zleva i zprava ke stejnému nekonečnu. Pokud né, tak limita neexistuje.

Ovšem i když limita neexistuje, budou existovat limity zleva a zprava, což ti pro kreslení grafu pomůže taky.

AterCZ · 07. 03. 2018 11:16

↑ laszky:↑ MichalAld: děkuji za odpovědi. Mohl bych se zeptat, jak zjistím, jestli to jde zleva i zprava ke stejnému nekonečnu?

Po využití $(1-x^2)^2\geq 0$ se mi podařilo získat definiční obor, nevím, jak dále použít $\lim_{x\to1} x=1$ a $\lim_{x\to1} (1-x^2)^2=0$

Jj · 07. 03. 2018 11:24

↑ AterCZ:

Zdravím.

Řekl bych, že podle znamének čitatele a jmenovatele limitovaného výrazu v (levém a pravém) okolí bodu x = 1.

AterCZ · 07. 03. 2018 11:26

↑ Jj: děkuji za odpověď. Já právě nevím, jak vypočítat $\lim_{x\to1}\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}$ , tudíž pokud to správně chápu, tak se teď neumím dostat k znaménkům čitatele a jmenovatele limitovaného výrazu v (levém a pravém) okolí bodu x = 1

vlado_bb · 07. 03. 2018 11:33

↑ AterCZ: Prvym krokom moze byt odhad - vidime, ze limity sprava aj zlava su $+\infty$ . Ak chces byt dosledny, mozes vyuzit definiciu limity, teda v tomto pripade ukazat, ze ku kazdemu $K>0$ existuje prstencove okolie jednotky, na ktorom je $\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}>K$ . Pri hladani tohoto okolia bude asi vhodne vyuzit naprv nerovnost $x \ge \frac 12$ , tym sa zbavis $x$ v citateli a potom po istych upravach $1+x<2$ , tym sa zbavis $(1+x)^2$ v menovateli. Takto napisane to mozno vyzera zlozito, ale ked sa do tej nerovnosti pustis, bude ti to jasnejsie.

AterCZ · 07. 03. 2018 13:14

↑ vlado_bb: děkuji za odpověď. Mohl bych se zeptat, na čem je založen odhad?

První nerovnost mám vypočítat $\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}>\frac 12$ ? Z čeho plyne, že to je $\frac 12$ ?

vlado_bb

↑ AterCZ: Odhad je zalozeny na tom, ze clovek vie delit cislo 1 malym kladnym cislom. A nie, nerovnost $\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}>\frac 12$ s definiciou limity nijako nesuvisi. Treba ukazat, ze ku kazdemu $K>0$ existuje prstencove okolie jednotky, na ktorom je $\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}>K$ . Ved si tu definiciu pozri. Nerovnost $x > \frac 12$ vyuzijes az pri dalsich upravach a vyplyva z toho, ze hladame limitu v bode 1. Teda mozeme sa obmedzit na prstencove okolia jednotky s polomerom nanajvys $\frac 12$ a pre $x$ z takehoto prstencoveho okolia je uz splnene $x > \frac 12$ . Kym sa do toho sam nepustis, nebude ti to jasne.

Rumburak

↑ AterCZ:

Ahoj. Lze postupovat i následovně:

Položme třeba $m = \frac{1}{2}$ a o proměnné $x$ z funkčního předpisu předpokládejme,
že vedle základní podmínky

(0) $x \ne 1$

(abychom nevypadli z definičního oboru zadané funkce) splňuje také

$1-m < x <1 + m$ , neboli

(1) $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ .

Při podmínce (0) můžeme nerovnost (1) vynásobit kladným číslem $\frac{1}{(1-x^{2})^{2}}$ ,

čímž dostaneme

$\frac{\frac{1}{2}}{(1-x^{2})^{2}} < \frac{x}{(1-x^{2})^{2}}<\frac{\frac{3}{2}}{(1-x^{2})^{2}}$ ,

speciálně

(2) $\frac{\frac{1}{2}}{(1-x^{2})^{2}} < \frac{x}{(1-x^{2})^{2}}$ .

Při tom stále předpokládáme, že platí

(3) $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ a zároveň $x \ne 1$ ).

Nyní stačí ukázat, že

(4) $\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{2}}{(1-x^{2})^{2}} = +\infty$ .

Z (3), (2) a (4) již snadno plyne $\lim_{x\to1}\frac{x}{(1-x^{2})^{2}} = +\infty$

(viz modifikace věty "o dvou policajtech" pro nevlastní limity).

MichalAld · 07. 03. 2018 14:45

AterCZ napsal(a):
↑ laszky:↑ MichalAld: děkuji za odpovědi. Mohl bych se zeptat, jak zjistím, jestli to jde zleva i zprava ke stejnému nekonečnu?

Po využití $(1-x^2)^2\geq 0$ se mi podařilo získat definiční obor, nevím, jak dále použít $\lim_{x\to1} x=1$ a $\lim_{x\to1} (1-x^2)^2=0$

Můžeš to taky udělat "hrubou silou", když to nejde zhlavy ... dosadíš si za x třeba 0.99 a 1.01 a spočítáš, co ti vyjde, jestli je to kladné nebo záporné.

Vzhledem k tomu, že nepotřebuješ znát přesný výsledek, ale jen jeho znaménko, mělo by to být jasné i bez počítání, jen z vlastností sčítání, odčítání, násobení a mocnění.

Pokud s tím máš problém, je zbytečné to řešit nějakými složitými důkazy, lepší je začít s jednodušší funkcí, kde ti to bude víc jasné, jako třeba 1/x, 1/x^2, 1/x^3 atd (pro x->0)

AterCZ · 07. 03. 2018 14:59 — Editoval AterCZ (07. 03. 2018 15:01)

↑ Rumburak:↑ vlado_bb: ↑ MichalAld: děkuji moc za snahu, už mi to vyšlo.

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2018 16:42

Limita

#2 06. 03. 2018 16:53

Re: Limita

#3 06. 03. 2018 16:53 Příspěvek uživatele vlado_bb byl skryt uživatelem vlado_bb. Důvod: zle precitane zadanie

#4 06. 03. 2018 16:58 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: kolega bol rýchlejší

#5 06. 03. 2018 17:06

Re: Limita

#6 07. 03. 2018 11:16

Re: Limita

#7 07. 03. 2018 11:24

Re: Limita

#8 07. 03. 2018 11:26

Re: Limita

#9 07. 03. 2018 11:33

Re: Limita

#10 07. 03. 2018 13:14

Re: Limita

#11 07. 03. 2018 13:17 — Editoval vlado_bb (07. 03. 2018 13:19)

Re: Limita

#12 07. 03. 2018 14:26 — Editoval Rumburak (07. 03. 2018 15:09)

Re: Limita

#13 07. 03. 2018 14:45

Re: Limita

AterCZ napsal(a):

#14 07. 03. 2018 14:59 — Editoval AterCZ (07. 03. 2018 15:01)

Re: Limita

Zápatí