Matematické Fórum

BobMarley

Dobrý den,
chtěl bych požádat o konzultaci nad tímto důkazem:
Má-li funkce $f$ v každém bodě intervalu $(a,b)$ kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí.

Našel jsem tento důkaz, který využívá Langrageovu větu o střední hodnotě:
Jsou-li $x_1, x_2$ dva libovolné různé body intervalu $(a,b)$ , pro která platí $x_1 < x_2$ , je interval $<x_1,x_2>$ části intervalu $(a,b)$ .
Podle Lagrangeovy věty existuje takové číslo $c \in (x_1,x_2)$ , že platí

$f^{'}(c) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ .

Víme (z předpokladu), že $f^{'}(c) >0$ . Protože $x_2 >x_1$ , musí být $f(x_2) >f(x_1)$ . Tím jsme dokázali, že pro $x_2,x_1$ z intervalu $(a,b)$ platí, je-li $x_2 >x_1$ , je $f(x_2) >f(x_1)$ . To však znamená, že funkce $f$ je rostoucí v $(a,b)$ .

Poslední věta mi není jasná, nemělo by v důkazu spíše být uvedeno, že musí existovat podinterval intervalu $(x_1,x_2)$ , ve kterém musí být funkce $f$ rostoucí? Protože definice rostoucí funkce vypadá přeci takto: $\forall x_1, x_2 \in D(f); x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$ , což nemusí být přeci splněno.

Rumburak

↑ BobMarley:

Ahoj.

Důkaz je v pořádku, neboť body $x_1, x_2$ , s nimiž se pracovalo, byly vybrány
tak, aby splňiovaly

(1) $x_1, x_2 \in (a,b)$ , $x_1 < x_2$

a jinak zcela libovolně. Bylo tedy dokázáno, pro libovolná $x_1, x_2$ splňující (1)
je $f(x_1) < f(x_2]$ , což podle příslušné drfinice znamená, že funkce $f$ je
v intervalu $(a,b)$ rostoucí.

BobMarley

↑ Rumburak:
Děkuji, myslím že rozumím -> "....byly vybrány libovolně" = pro každé $x_1,x_2$ , kde $x_1 < x_2$ platí...
"na pozadí důkazu tedy nevolím jednu dvojici pevně x_1, x_2, ale vlastně všechny body z intervalu (a,b)"

Rumburak · 13. 03. 2018 17:01

↑ BobMarley:

Přesně tak. O číslech $x_1, x_2$ jsme předpokládali pouze to, že splňují

(1) $x_1, x_2 \in (a,b)$ , $x_1 < x_2$ ,

a důkaz vyšel, aniž by bylo nutno předpokládat více. Můžeme tedy usoudit,
že tomu tak bude pro libovolnou dvojici $x_1, x_2$ splňující (1).

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2018 12:47 — Editoval BobMarley (13. 03. 2018 13:51)

Lagrangeova věta - průběh funkce

#2 13. 03. 2018 13:43 — Editoval Rumburak (13. 03. 2018 13:44)

Re: Lagrangeova věta - průběh funkce

#3 13. 03. 2018 14:58 — Editoval BobMarley (13. 03. 2018 15:04)

Re: Lagrangeova věta - průběh funkce

#4 13. 03. 2018 17:01

Re: Lagrangeova věta - průběh funkce

Zápatí