Matematické Fórum

DominikBnP · 23. 03. 2018 10:27

Řešení znám, předkládám pro zajímavost.

$x+y+z=1$
$x^2+y^2+z^2=2$
$x^3+y^3+z^3=3$
$x^4+y^4+z^4=?$

První možnost je vyřešit jen toto. Ale jde to zobecnit i pro větší počet neznámých s vhodným využitím teorie matic.

laszky · 23. 03. 2018 19:46

To bude beztak nejaka Pelantovina :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

DominikBnP · 23. 03. 2018 21:13

↑ laszky:Ty znáš Editu?

Výsledek máš dobře. Každopádně ale ještě hustší je to zobecnění přes matice a jejich stopy a mocniny atd.

vanok · 23. 03. 2018 22:51

Ahoj ↑ DominikBnP:,
Alebo aj takto.
Polozime tie sumy $S_0=3; S_1=1; S_2=2;S_3=3;S_4=? ...$
A polozme $A=x+y+z=1;B=xy +yz +xz; C=xyz$
Potom $x,y,z$ su korene polynomu $X^3-AX^2+ BX-C=0$ ( Viete)
Co da pre $n \ge 0, S_{n+3}=AS_{n+2}-BS_{n+1}+CS_n$
$S_0,S_1,S_2,S_3$ da postupne $A=1;B=-1/2;C=1/6$ co da okamzite $S_4=25/6$

Tvoje zovseobecnenie sa uci na zaciatku VS pri studiu polynomov, specialne ide o symetricke polynomy a Newton-ove sumy.

Poznamka. Podobne cvicenia som tu na fore uz riesil.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2018 10:27

Zajímavý příklad z algebry

#2 23. 03. 2018 19:46

Re: Zajímavý příklad z algebry

#3 23. 03. 2018 21:13

Re: Zajímavý příklad z algebry

#4 23. 03. 2018 22:51

Re: Zajímavý příklad z algebry

Zápatí