Matematické Fórum

Peter_CSR

Ahoj,

hra som sa troška s myšlienkou Darbouxovej vety.

Premýšlal som o funkcií, ktorá by mala na R (rozumiem správne?: R znamená reálne číslo, nie plus/mínus nekonečno!) bod $a$ v ktorom je definovaná a $f(a) =$ plus nekonečno

Existuje taká funkcia?

Nie som si ešte istý, či to potrebujem, ale bolo by dobré keby tá istá f mala na D(f) bod $b$ , kde $f(b)$ je nejaké reálne číslo.

ďakujem.

laszky · 07. 04. 2018 23:25

Mas na mysli neco jako Diracovu funkci? :-D

Peter_CSR · 07. 04. 2018 23:39

↑ laszky: možno by to mohlo byť ono, musím ešte pouvažovať...

vlado_bb

↑ Peter_CSR: Treba si ale ujasnit, co znamena, ze $f$ je definovana v bode $a$ . Obvykle sa tym mysli, ze $f(a) \in R$ . No a v $R$ ziadne nekonecno nie je.

Peter_CSR · 09. 04. 2018 15:10

↑ vlado_bb: rozumiem.

Peter_CSR · 10. 04. 2018 00:20

laszky napsal(a):
Mas na mysli neco jako Diracovu funkci? :-D

Ahoj,

ak je toto správne:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-04/12338_Pet_me_28-12-2011%2B%25E2%2580%2593%2Bk%25C3%25B3pia.jpg

premýšlam či táto funkcia je spojitá.

Uvažujem že by som pomocou Heineho defrinície chcel vybrať nejakú postupnosť $(x_{n})$ (?)..ale akú...

laszky · 10. 04. 2018 02:09

↑ Peter_CSR:

No, problem je v tom, ze to zas az tak moc funkce neni. Je to linearni funkcional, a to konkretne zobecnena funkce neboli distribuce. Potom je to spojity funkcional, protoze je omezeny.

$|\delta_a(f)| = |f(a)| \leq \|f\|$

Z tech tebou uvedenych vztahu je videt, ze je limitou spojitych funkci, ale ta konvergence neni stejnomerna, takze z toho neplyne spojtost limity. Naopak myslim, ze by se ti mohlo pokusit dokazat, ze dokonce pro zadne $\varepsilon>0$ neexistuje $\delta>0$ , takove, ze... :-)

Ale funkcionalni analyzu nedelam, takze bez zaruky ;-)

MichalAld · 10. 04. 2018 08:43

Peter_CSR napsal(a):
ak je toto správne:

http://forum.matweb.cz/upload3/img/ … 5B3pia.jpg

premýšlam či táto funkcia je spojitá.

Není to vůbec funkce (jak psal laszky), a samotná takováto limita je nám celkem k ničemu. Když to chceme použít, musíme to dát do integrálu, a tu limitu udělat až po zintegrování.

Takže třeba takto:

$\int_{- \infty}^{\infty}\delta(x)dx = \lim_{L \to \infty}\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{\sin xL}{x \pi}dx$

Tohle je samozřejmě ještě celkem k ničemu, ale aspoň to lze spočítat. Užitečné to začíná být, když

$\int_{- \infty}^{\infty}f(x) \delta(x-x_0)dx = \lim_{L \to \infty}\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x)\frac{\sin (x-x_0)L}{(x-x_0) \pi}dx=f(x_0)$

Dirakovu "funkci" nelze nalézt, nemůže existovat funkce s těmito vlastnostmi. Nicméně matematikové vymysleli celou teorii tzv. "distribucí" aby to mohli matematicky korektně popsat. Pro "normální lidi" to ale moc není...

Pro praktické používání si stačí zapamatovat, že:

$\int_{- \infty}^{\infty}f(x) \delta(x-x_0)dx =f(x_0)$

což je hrozně jednoduché. A fyzikálně odpovídá Diracova funkce jakékoliv velmi úzké a velmi vysoké funkci s jednotlkovou plochou. V teorii signálů se tomu neříká Diracova funkce, ale Diracův impulz, a lze s ním nahradit jakýkoliv krátký impulz (bez ohledu na jeho tvar). Takže se to dost často používá. Také se to používá v kvantové mechanice - představuje to stav s "přesně určenou hodnotou". Nebo také v teorii pravděpodobnosti - pokud chceme pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti vyhádřit, že je nenulová pravděpodobnost jednoho konkrétního výsledku (ze spojité množiny možných výsledků), vede to rovněž na Dirac.

A vlastně obecně, vždy, když máme spojité rozložení čehokoliv (hmoty, energie, síly...) a chceme vyjádřit třeba hmotný bod, nebo sílu působící v bodě, vede to na tenhle Dirac.

Peter_CSR · 10. 04. 2018 21:23

↑ laszky:

hmm.... tak to vidím že som sa trocha prepočítal. Respektíve nedopočítal, netuším ktorá bije. Nikdy som sa s tým predtým nestretol.

Ok, mám otvorenú wikipédiu, je tam toho dosť.

Peter_CSR · 10. 04. 2018 21:31

↑ MichalAld:

hmm.... oook.... ok....

Dik.

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2018 23:18 — Editoval Peter_CSR (07. 04. 2018 23:18)

Funkcia definovaná na R s H(f)

#2 07. 04. 2018 23:25

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

#3 07. 04. 2018 23:37 Příspěvek uživatele Peter_CSR byl skryt uživatelem Peter_CSR.

#4 07. 04. 2018 23:39

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

#5 08. 04. 2018 06:11 — Editoval vlado_bb (08. 04. 2018 06:12)

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

#6 09. 04. 2018 15:10

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

#7 10. 04. 2018 00:20

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

laszky napsal(a):

#8 10. 04. 2018 02:09

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

#9 10. 04. 2018 08:43

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

Peter_CSR napsal(a):

#10 10. 04. 2018 21:23

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

#11 10. 04. 2018 21:31

Re: Funkcia definovaná na R s H(f)

Zápatí