Matematické Fórum

nejsemfyzik123 · 09. 04. 2018 22:38

Zdravím,
Mám příklad týkající se lineárního zobrazení g: R^2 -> R^2.

g(v) = (v1-2v2)
(-v1+2v2)
(Jedna se o zápis pod sebou).

Mám přijít na vektor, který leží v oboru hodnot daného zobrazení a na jeden, který tam neleží. Zkoušel jsem počítat všechno možné, ale stále se nemůžu dopočítat.

Hledám tedy Image g (Im g), jak se obor hodnot označuje (je to tak?). Zkoušel jsem sestavit matici z hodnot zadání, tedy:

1 -2
-1 2

Matici dát rovnou nule a převést na schdovitý tvar. Stačí tedy ke spodnímu řádku přičíst horní řádek a dostanu:

1 -2 v1 = 0
0 0 0 = 0

Postupuji vůbec správně? Jestli ano, jak z tohoto dostanu obor hodnot?

laszky · 09. 04. 2018 22:49 — Editoval laszky (09. 04. 2018 23:00)

Ahoj, kdyz zjistujes obraz, tak te zajimaji vsechny vektory, ktere timto zobrazenim muzes ziskat. Uz ze zadani je videt, ze

$g\left({v_1\atop v_2}\right) = (v_1-2v_2)\left({1\atop -1}\right)$ ,

takze $\mathrm{Im}\;g=\langle\left({1\atop -1}\right)\rangle$ .

Edit: V obecnem pripade je Im g prostor urceny sloupcovymi vektory matice zobrazeni g (jejich linearni obal).

nejsemfyzik123 · 09. 04. 2018 22:54

↑ laszky:

Děkuji. Čili v oboru hodnot leží např.:

5
-5

A neleží:

5
5

Chápu to správně?

laszky · 09. 04. 2018 22:59

↑ nejsemfyzik123:

Ano ;-)

MichalAld · 10. 04. 2018 08:27

Takže to, že obor hodnot je něco jiného než R^2 je důsledek toho, že matice zadaného zobrazení není regulární ?

nejsemfyzik123

↑ laszky:

Moc děkuji.

Měl bych ještě jeden dotaz týkající se vektorů. Jak zjistím, zda vektor leží v prostoru?

Vektor např.:

x:

1
2
3

Prostor L = ({v1, v2})

v1:

1
0
3

v2:

0
2
1

Mám sestavit matici? Nebo jak se to řeší?

Edit: Já, jediné, co jsem našel, bylo, že si sestavím rovnici:

x = c1 . v1 + c2 . v2

Nevím ale, kde vzít c1 a v2 a celá rovnice mi moc nedává smysl...Podprostor L je tvořen vektory o 3 hodnotách, ale v rovnici jsem viděl vždy maximálně v2, v3 už ne.

vlado_bb

↑ nejsemfyzik123: Zda sa, ze sa prilis orientujes na manipulacie s cislami a unika ti geometricka podstata veci. Predstav si v priestore vektory $v_1, v_2$ . Dalej si predstav vsetky ich linearne kombinacie - to je prislusny generovany podpriestor. Otazka v ulohe je, ci vektor $x$ patri do tohoto podpriestoru. Je to uz jasnejsie?

nejsemfyzik123 · 10. 04. 2018 10:56

↑ vlado_bb:

Zkusil jsem si to nakreslit a trošku jasnější to je. V tom mi ta mnou zmiňovaná rovnice:

x = c1 . v1 + c2 . v2

začíná dávat smysl. c1 a c2 budou tedy násobky vektorů v1 a v2. Já ale hledám pouze násobky týkající se vektoru x, tedy pouze čísla 1, 2 a 3.

Bude tedy rovnice pro výpočet vypadat takto?

x = 1 . 1 + 2 . 0?

vlado_bb · 10. 04. 2018 11:07

↑ nejsemfyzik123: V prvom rade $x$ je vektor a nie cislo, teda rovnost $x = 1.1 + 2.0$ nedava nijaky zmysel.

Dalej - uvedom si, ze mame zistit, ci je $x$ nejakou linearnou kombinaciou vektorov $v_1, v_2$ . Z toho hladiska su nasobky vektora $x$ uplne nezaujimave.

laszky · 10. 04. 2018 11:10

↑ nejsemfyzik123:

Ta soustava (v tvem konkretnim pripade) bude

$1\cdot c_1 + 0\cdot c_2 = 1$
$0\cdot c_1 + 2\cdot c_2 = 2$
$3\cdot c_1 + 1\cdot c_2 = 3$

Takze mas 3 rovnice a 2 nezname. Z prvnich dvou rovnic (resp. z libovolnych dvou) zjistis $c_1$ a $c_2$ , a pokud tyto spoctene $c_1$ a $c_2$ vyhovuji i treti rovnici, tak x lezi v L.