Matematické Fórum

Kandela · 22. 04. 2018 18:32

Dobrý den, chtěl bych poradit s následující úlohou. Zadání je následující: Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy $x$ i osy $y$ . Její střed leží na přímce $q: x -y + 3=0$ .

Zkoušel jsem více postupů:
$k=?$ (k se dotýká osy x i y)
$S\in q|q: x-y+3=0$

1) Jestliže se kružnice dotýká obou os, vzdálenost středu od jedné osy se musí rovnat vzdálenosti od druhé osy a musí tedy rovněž ležet na přímce třeba p $|p:x-y=0$ . Takže obě dvě rovnice dáme do soustavy dvou rovnic pro dvě neznámé:

$q: x-y+3=0$
$p: x-y =0 / y = x$
-------------------------
$x - x + 3 = 0$
$3 = 0$
$\vee$
$3 =/= 0$
$K = \emptyset$

2) Dále jsem zkusil řešit přes tečnu. Jestliže se přímka kružnice (osa x a y) dotýká, je její tečnou. Vycházejme z následujícího...
Jak jsem již uvedl výše, střed S leží ve stejné vzdálenosti jak od osy x, tak od osy y.
Tradičně se souřadnice středu kružnice zapisují jako $S[m;n]$ , jelikož se však vzdálenosti středu od os neliší, označím středové souřadnice jako $S[m;m]$ .
Dále víme že osa x je první tečnou, tudíž se na ní musí nacházet bod dotyku $T_{1}$ $|T_{1} [m;0]$ , na ose y je to obdobné, takže $T_{2} [m;0]$ .
Vycházíme ze dvou rovnic, středové rovnice kružnice a rovnice tečny ke kružnici:
$k:(x-m)^{2}+(y-n)^{2}-r^{2}=0$
$t:(x-m)\cdot (x_{0}-m)+(y-n)\cdot (y_{0}-n)-r^{2}=0$ $|T[x_{0};y_{0}]$ .
Takže vytvoříme soustavu tří rovnic pro tři neznámé a dosadíme hodnoty, nebo nahradíme proměnné, které známe.
$k:(x-m)^{2}+(y-m)^{2}-m^{2}=0$ (r je m, protože poloměr je tady vzdálenost středu od os)
$t_{1}:(x-m)\cdot 0+(y-m)\cdot (-m)-m^{2}=0$
$t_{2}:(x-m)\cdot (-m)+(y-m)\cdot 0-m^{2}=0$
---------------------------------------------------------
$x^{2}-2xm+m^{2}+y^{2}-2ym+m^{2}-m^{2}=0$
$-m^{2}-ym+m^{2}=0$
$-m^{2}-xm+m^{2}=0$
---------------------------------------------------------
$x^{2}+y^{2}-2xm-2ym+m^{2}=0$
$-ym=0$
$-xm=0$
---------------------------------------------------------
Když za ym a xm dosadíme v první rovnici 0, dostaneme se k rovnici $x^{2}+y^{2}-m^{2}=0$ . Takže k žádnému číslu jsem se nedopracoval, abych mohl rovnici kružnice zapsat.

Děkuji za všechny rady.