Matematické Fórum

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 19:33

Ahoj,
Mám zadaný podprostor L $\in$ R5, podprostor má bázi:

u = (1, 2, 0, -3, 1) a v = (2, 4, -1, 3, 0)

Nejdříve jsem měl zjistit, jestli jeden vektor leží v ortogonálním doplňku podprostoru L. Udělal jsem si skalární součin a zjistil, že tam leží. Teď mám druhý úkol, a to zjistit bázi podprostoru ortogonálního doplňku. Jak ze zadané báze zjistím bázi $L^{\perp }$ ?

Předem díky!

Pritt · 23. 04. 2018 20:13

↑ nejsemfyzik123:

Ahoj, nejdříve bych našel libovolný doplněk prostoru $L$ . Poté můžeš postupovat Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 20:19

↑ Pritt:

Libovolným doplňkem prostoru L myslíš další tři vektory tak, abych mohl vytvořit matici a dát ji rovno nule?

Něco jako toto?

1 2 0 -3 1 | 0
2 4 -1 3 0 | 0
0 0 1 1 1 | 0
0 0 0 1 1 | 0
0 0 0 0 1 | 0

laszky · 23. 04. 2018 20:19

$\begin{pmatrix} 1&2&0&-3&1 \\ 2&4&-1&3&0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ? & ? \\ 0&1&0& ? & ? \\ 0&0&1 & ? & ? \end{pmatrix}$

Dopln otazniky, tak aby radkove vektory byly kolme k obema tvym vektorum.
Je jasne, proc to bude baze?

Pritt · 23. 04. 2018 20:33

↑ nejsemfyzik123:

Bázi libovolného doplňku $L$ najdeš, pokud najdeš 3 vektory $\vec{x},\vec{y},\vec{z}$ , pro které bude platit, že $\mathbb{R}^5 = [\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u},\vec{v}]_{\lambda}$ , jinými slovy, že $\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u},\vec{v}$ budou LN.

Nicméně laszkyho postup je zde určitě výhodnější.

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 20:37

↑ laszky:

Takže například:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0&1&0& 0 & -2 \\ 0&0&1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

A bude to tak, aby vektory byly mezi sebou lineárně nezávislé a tím pádem tvořily bázi, je to tak?

Pritt · 23. 04. 2018 20:41

↑ nejsemfyzik123:

To je špatný příklad, hned tvůj první vytvořený vektor nebude kolmý s $\vec{v}$ .

Víš, jak vzniklo to, co ↑ laszky: napsal?

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 20:49

↑ Pritt:

Já to chápal tak, že to jsou nějaké tři řádky, které si musím vymyslet, abych dostal matici 5x5 = 0. Takže použiji to nejsnažší a doplním jen taková čísla, aby byly jednotlivé řádky mezi sebou kolmé.

Já to s tím $\vec{v}$ vůbec nepočítal, počítal jsem to jen s $\vec{u}$ , to byla ta chyba. Říkal jsem si, že když to bude kolmé s jedním, tak to bude kolmé s oběma. Ale není. V tom případě nechápu, jaká čísla za ty otazníky doplnit, abych dostal skalární součin roven nule...

Pritt · 23. 04. 2018 21:25 — Editoval Pritt (23. 04. 2018 21:25)

↑ nejsemfyzik123:

A co teď?

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & a & b \\ 0&1&0& c & d \\ 0&0&1 & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2 \\ 2 & 4 \\ 0 & -1 \\ -3 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 21:56

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & a & b \\ 0&1&0& c & d \\ 0&0&1 & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2 \\ 2 & 4 \\ 0 & -1 \\ -3 & 3 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Podle této matice mi to vyšlo:

a = - 2/3
b = 1
c = - 4/3
d = -6
e = 1/3
f = 1

Je to správně?

Al1 · 23. 04. 2018 22:03

↑ nejsemfyzik123:

Zdravím,

b je chybně.

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 22:07

↑ Al1:

Už to vidím, bude to -3.

Al1 · 23. 04. 2018 22:10

↑ nejsemfyzik123:

Ano

nejsemfyzik123 · 23. 04. 2018 23:53

↑ Al1:

Všem moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2018 19:33

Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#2 23. 04. 2018 20:13

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#3 23. 04. 2018 20:19

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#4 23. 04. 2018 20:19

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#5 23. 04. 2018 20:33

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#6 23. 04. 2018 20:37

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#7 23. 04. 2018 20:41

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#8 23. 04. 2018 20:49

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#9 23. 04. 2018 21:25 — Editoval Pritt (23. 04. 2018 21:25)

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#10 23. 04. 2018 21:56

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#11 23. 04. 2018 22:03

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#12 23. 04. 2018 22:07

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#13 23. 04. 2018 22:10

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

#14 23. 04. 2018 23:53

Re: Podprostor, najděte bázi podprostoru ortogonálního doplňku

Zápatí