Matematické Fórum

Mara321 · 20. 05. 2009 23:07

Nevím si rady s jedním příkladem.

Určete velikost tětivy, kterou vytíná na ose x kružnice x^2+y^2-5x-6y+6=0
(určete také střed kružnice -S, poroměr -r, průsečíky s osou x)

Zkoušel jsem tu obecnou rovnici převést na středovou, ale zadrhl jsem se u toho, protože jsem to nemoh upravit. Bo by to bylo (x^2-5x+6,25) + (y^2-6y+9)+6-6,25-9 =0 . Pravě mi nesedí ta první závorka - to 6,25.
Diky za pomoc.

Marian · 20. 05. 2009 23:34 — Editoval Marian (20. 05. 2009 23:38)

↑ Mara321:
Stačí základní škola.

Tětiva, o kterou nám jde (popř. o její délku) se nachází na ose "x". Krajní body tětivy tedy budou mít y-ové souřadnice nulové. Leží však na kružnici, tj. do rovnice kružnice dosadíme y=0 a spočteme x-ové souřadnice:
$x^2-5x+6=0\quad\Rightarrow\quad (x-2)(x-3)=0\qquad\Rightarrow \boxed{x_1=2,\quad x_2=3}.$
Délka tětivy musí tedy být $|x_1-x_2|=1$ (v příslušných délkových jednotkách). Odsud se snadno spočte i x-ová souřadnice středu jako aritmetický průměr čísel $x_1$ a $x_2$ .

Podobně lze spočítat (i když to zadání nevyžaduje) délku tětivy na ose "y". Bylo by $y_1=3-\sqrt{3}$ a $y_2=3+\sqrt{3}$ . Odtud y-ová souřadnice středu jako aritmetický průměr čísel $y_1$ a $y_2$ . Tudíž je $\boxed{S=[2.5, 3]}$ .

Poloměr se pak spočítá jako vzdálenost středu S od libovolného bodu na kružnici, třeba od bodu [2,0]. Proto
$r=\sqrt{(2.5-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{9.25}=\boxed{\frac{\sqrt{37}}{2}=r}.$

Snažil jsem se o řešení jednodušší než je standardní postup. Snad pomohlo ...

Mara321

Moc dík.. S tím dosazením y do rovnice mě to mohlo napadnout :-) Vždycky v tom hledám vědu a ono je to nakonec tak jednoduché..
mimochodem na základní škole jsme takové příklady určitě nepočítali.

Marian · 21. 05. 2009 08:00

↑ Mara321:
Tvrdím jen, že se to dá spočítat s aparátem základní školy. Pythagorova věta se bere a řešení kvadratické rovnice patří do rozšiřujícího učiva deváté třídy.

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2009 23:07

Velikost tětivy na ose x

#2 20. 05. 2009 23:34 — Editoval Marian (20. 05. 2009 23:38)

Re: Velikost tětivy na ose x

#3 20. 05. 2009 23:55 — Editoval Mara321 (20. 05. 2009 23:56)

Re: Velikost tětivy na ose x

#4 21. 05. 2009 08:00

Re: Velikost tětivy na ose x

Zápatí