Matematické Fórum

kryštof

Zdravím,

matice P nxn má tvar
$0\le p_{ij}\le 1$ $\sum _{j=1} ^{n}p_{ij}=1, \forall i=1,...,n$
a já potřebuju dokázat, že zobrazení ${x \to Px}$ je kontrahující na metrickém prostoru
$\{(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n};0\le x_i \wedge x_1+x_2+...+x_n=1\}$ $\rho(x,y)=\sum_{i=1}^{n} |x_i-y_i|$ .
(Je to vlastně příklad na markovovský řetězec, v matici P jsou pravděpodobnosti přechodů mezi stavy, proto součet vstupů matice přes každý jeden řádek je 1)

Můj přístup je $\rho(Px,Py)=\sum _{i=1}^{n} |\sum _{j=1}^{n}p_{ij}x_j- \sum _{j=1}^{n}p_{ij}y_j |=\sum _{i=1}^{n} |\sum _{j=1}^{n}p_{ij}(x_j- y_j) |$ , použít teď trojúhelníkovou nerovnost by ale byl moc hrubý odhad, protože potom vyjde $\rho (Px,Py) \le \rho(x,y)$ ale je potřeba $\rho (Px,Py) \le c \rho(x,y)$ s c menší 1. Děkuju za nějaké nasměrování.

laszky · 27. 05. 2018 09:20 — Editoval laszky (27. 05. 2018 09:20)

↑ kryštof:

Ahoj, je identita kontrahujici zobrazeni? :-)

vlado_bb · 27. 05. 2018 09:23

↑ laszky: Podla zauzivanej terminologie je identita kontraexpanzivne ale nie kontraktivne zobrazenie. Ale mozno zadavatel pouziva inu definiciu, tak uvidime.

kryštof · 27. 05. 2018 12:58

↑ laszky:
Podle definice v učebnici, kterou používám, identita není kontrahující zobrazení.
Abych rozebral, o co jde: je-li x1, x2, ..., xn n-tice pravděpodobností, že nějaký systém je v čase t ve stavu 1, resp. 2,... resp. n, pak analogická n-tice pravděpodobností v čase (t+1) je Px. V učebnici hlavní argument pro to, že systém bude po uplynutí dost dlouhé doby v stacionárním stavu, je tvrzení, že zobrazení $x \rightarrow Px$ je kontrahující na uvedeném metrickém prostoru. Pokud by tedy P byla matice identity, ještě by to nevadilo, protože potom zřejmě stacionární stav nastane ihned.
V učebnici stojí klasické "není těžké ověřit, proveďte za cvičení," ale strávil jsem tím už dost času aniž bych se pohnul.

vlado_bb · 27. 05. 2018 13:16

↑ kryštof: Tato problematika mi prilis blizka nie je, takze toto ber iba ako laicky pohlad - ak uvazime maticu $P$ s jednotkami na vedlajsej diagonale a nulami inde, tak zrejme splna predpoklady. Ale zobrazenie ${x \to Px}$ zmeni poradie suradnic vektoru $x$ a to by som prave stacionarnym stavom nenazval.

kryštof · 27. 05. 2018 13:45

↑ vlado_bb:
Zapomněl jsem dodat, že ten systém se vyvíjí náhodně, tj má být $0 \le p_{ij} < 1$ , jinak by se ten systém vyvíjel vlastně předurčitelně. Jestli se teď s tím něco dá udělat?

vlado_bb · 27. 05. 2018 14:12

↑ kryštof: Nebude nahodou $c$ maximum vsetkych $p_{ij}$ ?

kryštof · 27. 05. 2018 16:19

↑ vlado_bb:
Nakonec jsem přišel na to, že to skutečně není moc těžké, pokud se ale vezme metrika $\rho(x,y)=\max_{i=1,...,n} |x_i-y_i|$ . Potom je skutečně $c=\max_{i,j=1,...,n} p_{ij} <1$ . Netuším, proč v té učebnici to zbytečně komplikovali volbou nevhodné metriky, možná šlo o chybu, každopádně tohle je vyřešené, děkuju.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2018 21:17 — Editoval kryštof (26. 05. 2018 22:47)

důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#2 27. 05. 2018 09:20 — Editoval laszky (27. 05. 2018 09:20)

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#3 27. 05. 2018 09:23

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#4 27. 05. 2018 12:58

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#5 27. 05. 2018 13:16

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#6 27. 05. 2018 13:45

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#7 27. 05. 2018 14:12

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

#8 27. 05. 2018 16:19

Re: důkaz, že maticové zobrazení je kontrahující

Zápatí