Matematické Fórum

m.sey · 27. 05. 2018 22:50

Zdravím, zajímalo by mě u znění věty o implicitní funkci: proč je $\tilde{x}$ definováno na $R^n$ a $\tilde{y}$ je definováno "pouze" na $R$ ?

Bati · 27. 05. 2018 22:54

Ahoj,
nejspis kvuli jednodussi formulaci. Veta se ale da prirozene zobecnit pro $y\in\mathbb{R}^k$ , napr.

m.sey · 27. 05. 2018 23:01

Dobře, ale v čem vlastně je tahle "osekanější" verze specifická? Co by znamenalo kdyby to bylo $R^n$ u $y$ a u $x$ "jen" $R$ ?↑ Bati:

Bati · 27. 05. 2018 23:15

Pak jsi v situaci napr. $F(x,y_1,y_2)=0$ a chces najit $y_1(x)$ , $y_2(x)$ , aby $F(x,y_1(x),y_2(x))=0$ na nejakem okoli, OK? Pokud ale F zobrazuje do R (ma jen jednu slozku), pak je to trivialni, protoze napr. y_2 si zvolim konstantni a na y_1 pouziju klasickou vetu o impl. fci. Je videt, ze v tomhle pripade mam moc volnosti...spravne zobecneni je tedy uvazovat F jako zobrazeni do R2 (nebo obecne tolik, kolik mam "implicitnich promennych"). Pak ale predpoklad nenulovosti derivace se preklada jako nenulovost determinantu z $\partial_j F_{1+i}$

m.sey · 27. 05. 2018 23:22

Jojo, tu větu máme vlastně také, ještě bych měl dotaz k důkazu, na konci, kde se dostáváme k rovnosti $F(x,\varphi (x))=0$ , kde tedy rovnost nule platí pro všechny x z okolí $\tilde{x}$ a $\tilde{y}$ , tak ona rovnost nule platí, protože v předpokladu je ona rovnost pro $\tilde{x}$ a $\tilde{y}$ a díky spojitosti a monotonii na okolí to platí i pro všechny $x$ z okolí?

Bati · 27. 05. 2018 23:25

↑ m.sey:
To urcite nestaci...dukaz by mel dat odpoved na to, jak sestrojit $\varphi$ ...

m.sey · 27. 05. 2018 23:31

Pardon, to jsem se vyjádřil nepřesně, tu mezičást, která to řeší jsem vynechal, bereme to dejme tomu pro derivaci kladnou, tedy funkce je rostoucí, z toho odvodíme, že je rostoucí pro okolí bodu x, y, poté zúžíme okolí, je rostoucí pro všechny body v okolí a pak nastává ona rovnost u níž si nejsem jist z čeho plyne.↑ Bati:

Bati · 27. 05. 2018 23:40

↑ m.sey:
Ta rovnost se musi nejak "zkonstruovat" vhodnou volbou $\phi$ . Myslim, ze se to dela pres vetu o stredni hodnote..kdyz tedy z predpokladu vim, ze pro nejake pevne $x$ je $F(x,y_1)<0$ a $F(x,y_2)>0$ , tak bude existovat $y(x)$ mezi tak, ze $F(x,y(x))=0$ . A ted to same udelam pro vsechny x, cimz definuju $\varphi$

m.sey · 27. 05. 2018 23:47

V některých verzích vlastně je a teď si jenom nejsem jist jestli je potřeba, jestli prostě nestačí spojitost a monotonie abychom mohli tvrdit, že platí ona rovnost nule pro všechny body z okolí.↑ Bati:

Bati · 27. 05. 2018 23:52

↑ m.sey:
Zkus presne napsat tvrzeni, ktere mas namysli a podivame se, jestli to muze platit...bez ohledu na ten zbytek dukazu

m.sey · 27. 05. 2018 23:59

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/58306_upraveny_IMG-6209.JPG jedná se o rovnost nule na posledním (vlnovkou) podtrženém řádku a nejsem si jist z čeho plyne.

Bati · 28. 05. 2018 00:11

↑ m.sey:
No to je ono...pro kazde x z nejakeho okoli se zkonstruuje $\varphi(x)$ pomoci vety, ze kdyz je spojita funkce a $f(a)<0<f(b)$ , pak existuje $c\in[a,b]$ , ze $f(c)=0$ ...to jsem myslel tou vetou o stedni hodnote...ale asi se to jmenuje veta o nabyvani mezihodnot, nebo to ma i nejake jmenu

m.sey · 28. 05. 2018 00:13

Jo už mi to došlo, díky moc.↑ Bati:

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2018 22:50

Věta o implicitní funkci - význam znění

#2 27. 05. 2018 22:54

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#3 27. 05. 2018 23:01

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#4 27. 05. 2018 23:15

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#5 27. 05. 2018 23:22

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#6 27. 05. 2018 23:25

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#7 27. 05. 2018 23:31

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#8 27. 05. 2018 23:40

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#9 27. 05. 2018 23:47

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#10 27. 05. 2018 23:52

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#11 27. 05. 2018 23:59

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#12 28. 05. 2018 00:11

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

#13 28. 05. 2018 00:13

Re: Věta o implicitní funkci - význam znění

Zápatí