Matematické Fórum

misak · 22. 05. 2009 18:06

Dobrý den, mám za úkol najít Taylorovu řadu funkce v bodě x0. Vůbec mi to nevychází. Byl by někdo tak hodný a poradil mi, kde dělám chybu?

$f(x) = (x+2)e^{3x}; x_0 = 1$
$[(x-1)+3]e^{3(x-1)+3} = (x-1)e^3e^{3(x-1)} + 3e^3e^{3(x-1)} =$
$\sum_{0}^{\infty}{\frac{e^33^k(x-1)^{k+1}}{k!}} + \sum_{0}^{\infty}{\frac{e^33^{k+1}(x-1)^k}{k!}} = \sum_{0}^{\infty}{\frac{e^33^k(x-1)^k(x-1)+e^33^k3(x-1)^k}{k!}} =$
$\sum_{0}^{\infty}{\frac{3^ke^3(x-1)^k(x-1+3)}{k!}} = \sum_{0}^{\infty}{\frac{3^ke^3(x-1)^k(x+2)}{k!}}$
Správný výsledek má údajně být
$3e^3+\sum_{1}^{\infty}{\frac{e^3(k+9)3^{k-1}(x-1)^k}{k!}}$

Prosím koukněte na to někdo, už se s tím patlám 3 hodiny a nemůžu ke správnému výsledku dojít.

kaja(z_hajovny) · 22. 05. 2009 21:35

$\sum_{0}^{\infty}{\frac{3^ke^3(x-1)^k(x+2)}{k!}}$ tohle neni pozadovana rada, protoze tam je krome x-1 i x+2

pro z=x-1 mam f=(z+3)exp(3z+3)= exp(3)*z*exp(3z) + 3*exp(3)*exp(3z)

ted rozvinu to exp(3z) v okoli nuly, vynasobim clen po clenu tim, co je potreba a rady clen po clenu sectu.
pak dam zase z=x-1

misak · 23. 05. 2009 11:02

Díky za reakci. Ale nějak nerozumím tomu, jak se najednou z (tedy x-1) dostalo do exponentu. Dále nechápu, co znamená rozvinout exp(3z) v okolí nuly.

kaja(z_hajovny)

objevilo se tam uz v zadani, v zadani bylo exp(3*x) a Vy sam jste tam vytvarel exp(3*(x-1)+3) atd ....

Rozvinout znamena:
$exp(t)=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}t^i$

$exp(3*z)=\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}3^iz^i$

misak · 23. 05. 2009 20:49

Děkuji za objasnění.
Takže když postupuji takto, tak je to v podstatě úplně stejný postup jako jsem dělal prvně. Akorát že se stejně nedoberu k výsledku. Možná mám problém s elementárními úpravami výrazů v sumách. Byl byste prosím tak laskav a ukázal mi, jak byste to upravoval Vy?

kaja(z_hajovny)

$z exp(3z) = z\sum \frac{3^iz^i}{i!}= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{3^i z^{i+1}}{i!} = \sum_{i=1}^\infty\frac {3^{i-1}z^i}{(i-1)!}$
$3 exp(3z)= \sum_{i=0}^\infty \frac{3^{i+1}z^i}{i!}$

po secteni u i-teho clene s mocninou z^i mam koeficient
3^(i-1)/(i-1)! + 3^{i+1}/i! = 3^(i-1) * (i+9) / i! ....... olé ;)

jeste to vynasobim tim e^3, pridam nulty clen z druhe sumy, udelam substituci zpet k x a prejmenuju index, pres ktery se scita.

misak · 26. 05. 2009 18:28

Nojo opravdu to vyšlo :-) Chtělo to ale hodně představivosti. Děkuji za vysvětlení.

Vladis · 27. 05. 2009 13:11

prosím, potřebovala bych poradit, jak zjistím první krok u řešení Taylorova polynomu a to je x0?? nechápu, jestli to může být libovolné číslo, nebo jak k němu dospěji? děkuji za odpověď

kaja(z_hajovny) · 27. 05. 2009 14:19

jake je zadani?

Vladis · 27. 05. 2009 14:23

no myslím to obecně, u jakéhokoliv zadání, například y=arctg x

kaja(z_hajovny) · 27. 05. 2009 16:29

v zadani musi byt, v okoli ktereho bodu se to ma delat.
Takze zadani je treba" nahradte v okoli bodu x=0 funkci ..... Taylorovym polynomem

nebpo: Napiste Tayloruv polynom stupne 20 se stredem x=560 pro funkci y=ln(x)

Vladis · 27. 05. 2009 16:46

zadání zní: napište TP 3.stupně pro danou funkci ve vhodném bodě.

kaja(z_hajovny) · 27. 05. 2009 16:52

pak je vhodnym bodem bod, kde se dobre pocitaji derivace

Vladis · 27. 05. 2009 17:07

takže je to víceméně jedno?? mám strach, že u zkoušky vyhořím jen kvůli tomu, že si špatně zvolím x0..

kaja(z_hajovny) · 27. 05. 2009 17:13

To zadani mi prijde nesikovne formulovane, ale vim ze nekde to tak skutecne zadavaji.

PEF MZLU?

Kazdopadne, kdyby clovek ten Taylory polynom pro arkustangens psal misto v nule v jednicce, tak to (vzhledem k formulaci zadani) az takova chyba neni a urcite to nebude na vyhazov od zkousky.

Pojem "Vhodny bod" je totiz mozne chapat mnoha zpusoby. Kdyby treba zadani bylo "Napište TP 3.stupně pro funkci arctg(x) ve vhodném bodě a pouzijte tento polynom k aproximaci cisla arctg(2.04)" tak je tim magickym vhodnym cislem x0=2

Doporucuji si precist teorii k Taylorovu polynomu.

Vladis · 27. 05. 2009 17:35

Školu jste trefil přesně. Teorii jsem si četla, ale nedá se to z ní vyvodit ani pochopit, budu spoléhat na štěstí. Děkuji za odpovědi.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2009 18:06

Nalezení Taylorovy řady funkce

#2 22. 05. 2009 21:35

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#3 23. 05. 2009 11:02

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#4 23. 05. 2009 15:22 — Editoval kaja(z_hajovny) (23. 05. 2009 15:23)

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#5 23. 05. 2009 20:49

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#6 23. 05. 2009 21:50 — Editoval kaja(z_hajovny) (23. 05. 2009 21:52)

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#7 26. 05. 2009 18:28

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#8 27. 05. 2009 13:11

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#9 27. 05. 2009 14:19

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#10 27. 05. 2009 14:23

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#11 27. 05. 2009 16:29

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#12 27. 05. 2009 16:46

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#13 27. 05. 2009 16:52

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#14 27. 05. 2009 17:07

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#15 27. 05. 2009 17:13

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

#16 27. 05. 2009 17:35

Re: Nalezení Taylorovy řady funkce

Zápatí