Matematické Fórum

re_visor · 08. 06. 2018 12:13

Ahoj,

prosím o pomoc s nerovnicí

$(x+1)^{3} \le (x+1)^{-1}$

Vždycky mí to vyjde jako $x(x^{3}+4x^{2}+6x+4)\le 0$ pro x>-1

a jako $x(x^{3}+4x^{2}+6x+4)\ge 0$ pro x<-1

A jednak si neumím poradit s tou kubickou nerovnicí, druhak si říkám jestli nepřehlížím nějaké zjednodušení, při kterém by na tu kubickou nerovnici vůbec nedošlo...

Kubas126

↑ re_visor:
použij na to algebraitské vzorce :)
napovím:
$\frac{(x+1)^{4}-1}{x+1}\le 0$

$a=(x+1)^{4}$
$b=-1$

vzorec:
a2-b2=(a+b)(a-b)

Aspro1 · 08. 06. 2018 12:33

Co takhle substituce $t = x + 1$ ? Nerovnice by se tím zjednodušila:

$t^3 \le \frac{1}{t}$

Nakreslím si grafy obou stran a už vidím, pro které hodnoty $t$ to platí. Z toho vyvodím, pro které hodnoty $x$ to platí.

zdenek1 · 08. 06. 2018 12:40

↑ Kubas126:
Když už, tak
$a=(x+1)^2$ a $b^2=1$

Rumburak

↑ Aspro1:

Ahoj. Ani výpočet zde nebude těžký. V nerovnici $t^3 \le \frac{1}{t}$ je nutně $t \ne 0$
a jejím vynásobením neznámou $t$ dostaneme

$t^4 \le 1$ , pokud $t > 0$ , resp. $t^4 \ge 1$ , pokud $t < 0$ ,

což snadno dořešíme.

re_visor · 08. 06. 2018 14:06

↑ Rumburak:

S použitím té substituce mi tedy vychází správné řešení, ale jen z půlky - pro $t^{4}\le 1$ pokud $t>0$

ale pro $t^{4}\ge 1$ , pokud $t<0$ mi to nechce vyjít, takže nekde dělám chybu

Aspro1 · 08. 06. 2018 14:20

↑ re_visor:Proč to nechce vyjít? Vynásobím obě strany nerovnice (záporným) téčkem, obrátím zmanénko nerovnosti v nerovnici a musí to vyjít.

Aspro1 · 08. 06. 2018 14:23

↑ Rumburak:Zdá se mi, že to máš špatně. Pro záporné téčko se znaménko nerovnosti v nerovnici musí obrátit, tak nemůže být v obou případech stejné.

re_visor · 08. 06. 2018 14:37

↑ Aspro1:to ale dostanu $-t^{5}\le t$ pro $t<0$ , a co s tím dál?

Aspro1 · 08. 06. 2018 15:45

↑ re_visor:Proč? Toto je původní nerovnice:

$t^3 \le \frac{1}{t}$

Násobím obě strany záporným téčkem:

$t^4 \ge 1$

re_visor

Pokud by se někomu z vás chtělo, mohl by provést kompletní řešení? Já jsem se do toho už hrozně zamotal :) Přesněji řečeno, x mi vychází správně pro kladné t, kdy $x\in (-1,0\rangle$ , ale nemůžu se dopočítat při záporném t toho, aby $x\in (-\infty , -2\rangle$

Celý výsledek má být $x\in (-\infty , -2\rangle \cup (-1,0\rangle$

gadgetka · 08. 06. 2018 20:18

$\frac{(x+1)^{4}-1}{x+1}\le 0$
$\frac{[(x+1)^2-1][(x+1)^2+1]}{x+1}\le 0$
$\frac{(x^2+2x)(x^2+2x+2)}{x+1}\le 0$
$\frac{x(x+2)(x^2+2x+2)}{x+1}\le 0$

Nulové body 0; -2; -1

$x\in (-\infty; -2\rangle \cup (-1; 0\rangle$

re_visor · 08. 06. 2018 22:27

Díky moc! Už to skoro chápu, až na jednu věc: kde se vzalo v tom prvním výrazu, tedy v $\frac{(x+1)^{4}-1}{x+1}\le 0$ , ve jmenovateli to x+1 ?

gadgetka · 08. 06. 2018 22:43

Takhle:
$(x+1)^{3} \le (x+1)^{-1}$
$(x+1)^{3} \le \frac{1}{x+1}$
$(x+1)^{3} - \frac{1}{x+1}\le 0$
$\frac{(x+1)^{4}-1}{x+1}\le 0$

re_visor · 08. 06. 2018 22:58

Děkuju ještě víc! :)

gadgetka · 08. 06. 2018 23:02

:)

Rumburak

↑ Aspro1:

Ahoj, máš samozřejmě pravdu - přepsal jsem se, za což se omlouvám.
Díík za upozornění.

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2018 12:13

Kubická nerovnice

#2 08. 06. 2018 12:13 — Editoval Kubas126 (08. 06. 2018 12:18)

Re: Kubická nerovnice

#3 08. 06. 2018 12:33

Re: Kubická nerovnice

#4 08. 06. 2018 12:40

Re: Kubická nerovnice

#5 08. 06. 2018 12:47 — Editoval Rumburak (11. 06. 2018 13:58)

Re: Kubická nerovnice

#6 08. 06. 2018 14:06

Re: Kubická nerovnice

#7 08. 06. 2018 14:20

Re: Kubická nerovnice

#8 08. 06. 2018 14:23

Re: Kubická nerovnice

#9 08. 06. 2018 14:37

Re: Kubická nerovnice

#10 08. 06. 2018 15:45

Re: Kubická nerovnice

#11 08. 06. 2018 19:21 Příspěvek uživatele re_visor byl skryt uživatelem re_visor.

#12 08. 06. 2018 20:08 — Editoval re_visor (08. 06. 2018 20:18)

Re: Kubická nerovnice

#13 08. 06. 2018 20:18

Re: Kubická nerovnice

#14 08. 06. 2018 22:27

Re: Kubická nerovnice

#15 08. 06. 2018 22:43

Re: Kubická nerovnice

#16 08. 06. 2018 22:56 Příspěvek uživatele re_visor byl skryt uživatelem re_visor.

#17 08. 06. 2018 22:58

Re: Kubická nerovnice

#18 08. 06. 2018 23:02

Re: Kubická nerovnice

#19 11. 06. 2018 14:01 — Editoval Rumburak (11. 06. 2018 16:25)

Re: Kubická nerovnice

Zápatí