Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 06. 2018 18:12 — Editoval vanok (09. 06. 2018 18:13)

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Podgrupa

Pozdravujem,
Nech $H, K$ su podgrupy jednej grupy $G$ 
a nech $HK = \{ hk | (h,k) \in H \times K \}$.
Dokazte, ze $HK$ je podgrupa grupy $G$, len a len ak $HK=KH$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 11. 06. 2018 17:50

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Podgrupa

Prva cast riesenia. $\Leftarrow $

Ak $HK=KH$ a $hk;h_1k_1$ su dva prvky z $HK$.
Tak $hk(h_1k_1)^{-1}=hkk_1^{-1}h_1^{-1}$.

$HK=KH$ zarucuje, ze existuju $h_2 \in H$ a $k_2 \in K$ take, ze $(kk_1^{-1})h_1^{-1}=h_2k_2$. Preto $hk(k_1^{-1}h_1^{-1})=hh_2k_2 \in HK$ .
Je jasne, ze $HK$ ma aspon jeden prvok. ...

To ukoncuje prvu implikaciu.

A ta druha ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 20. 06. 2018 13:05

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Podgrupa

Teraz ukazem opacnu implikaciu.  $\Rightarrow $
Tak predpokladajme, ze $ HK$ je podgrupa grupy $G$.
Nech $h \in H$ a $ k\in G$.
$h^{-1}k^{-1} \in HK$ a tak opacny prvok $kh\in HK$
Cize mame $KH\subseteq HK$   

Teraz nech $hk\in HK$, tak existuje $h_1\in H $ a tiez $k_1\in K$ take, ze $k^{-1}h^{-1}=h_1k_1$ cize $hk=k_1^{-1}h_1^{-1}$
Preto $HK \subseteq KH$

Konecne mame $HK = KH$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson