Matematické Fórum

vanok · 09. 06. 2018 18:12 — Editoval vanok (09. 06. 2018 18:13)

Pozdravujem,
Nech $H, K$ su podgrupy jednej grupy $G$
a nech $HK = \{ hk | (h,k) \in H \times K \}$ .
Dokazte, ze $HK$ je podgrupa grupy $G$ , len a len ak $HK=KH$ .

vanok · 11. 06. 2018 17:50

Prva cast riesenia. $\Leftarrow$

Ak $HK=KH$ a $hk;h_1k_1$ su dva prvky z $HK$ .
Tak $hk(h_1k_1)^{-1}=hkk_1^{-1}h_1^{-1}$ .

$HK=KH$ zarucuje, ze existuju $h_2 \in H$ a $k_2 \in K$ take, ze $(kk_1^{-1})h_1^{-1}=h_2k_2$ . Preto $hk(k_1^{-1}h_1^{-1})=hh_2k_2 \in HK$ .
Je jasne, ze $HK$ ma aspon jeden prvok. ...

To ukoncuje prvu implikaciu.

A ta druha ?

vanok · 20. 06. 2018 13:05

Teraz ukazem opacnu implikaciu. $\Rightarrow$
Tak predpokladajme, ze $HK$ je podgrupa grupy $G$ .
Nech $h \in H$ a $k\in G$ .
$h^{-1}k^{-1} \in HK$ a tak opacny prvok $kh\in HK$
Cize mame $KH\subseteq HK$

Teraz nech $hk\in HK$ , tak existuje $h_1\in H$ a tiez $k_1\in K$ take, ze $k^{-1}h^{-1}=h_1k_1$ cize $hk=k_1^{-1}h_1^{-1}$ .
Preto $HK \subseteq KH$

Konecne mame $HK = KH$

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2018 18:12 — Editoval vanok (09. 06. 2018 18:13)

Podgrupa

#2 11. 06. 2018 17:50

Re: Podgrupa

#3 20. 06. 2018 13:05

Re: Podgrupa

Zápatí