Matematické Fórum

slender

Zdravím,
přemýšlím nad řešením následující úlohy:

Máme klasickou šestistěnnou hrací kostku. Hodíme touto kostkou a výsledek označíme $N$ . Následně hodíme $N$ krát kostkou, součet těchto $N$ hodů označíme $X$ . Určete střední hodnotu $X$ .

Jako pracné řešení úlohy se nabízí vypočítat dílčí střední hodnoty $E(X\vert N=1), \dots, E(X\vert N=6)$ ,
potom $EX=\sum_{n=1}^6\frac{1}{6}\cdot E(X\vert N=n)$ , protože veličiny $(X|N=i), (X|N=j)$ jsou nezávislé pro různá $i, j$ .

Nevím ale, jak elegantně vypočítat $E(X\vert N=n)$ pro vyšší $n$ , sestavil jsem obecný vzorec:

$E(X\vert N=n)=\sum_{k=n}^{6n}k\cdot\frac{\text{počet možností, jak }n\text{ kostkami hodit součet }k}{6^n}$

Nemůžu ale přijít na to, jak vyjádřit ten $\text{počet možností, jak }n\text{ kostkami hodit součet }k$ . Pro $n\leq3$ to ještě mechanicky jde, dál už je to ale docela řehole, takže předpokládám, že autor úlohy chce, abych použil třeba nějakou vlastnost střední hodnoty, abych si tu práci zjednodušil.

Nevíte někdo, prosím, jak na to?

slender · 27. 08. 2018 13:41

A i když jsem před tím nad tím dumal přes půl hodiny, jakmile jsem sesmolil příspěvek, napadlo mě řešení.

Rozdělení náhodné veličiny $E(X|N=n)$ je symetrické a největší pravděpodobnost mají hodnoty nejbližší průměru možných součtů. Tedy střední hodnota $E(X|N=n)$ je průměr možných hodnot. Díky symetrii je to navíc totéž jako průměr krajních hodnot, tedy $E(X|N=n)=\frac{n+6n}{2}$ .

Dál už je to jednoduché.

Stýv · 27. 08. 2018 13:58

Pokud mě paměť neklame, existuje věta, která říká, že za nějakých jednoduchých podmínek platí $E\sum_1^NX_i=(EN)(EX)$ .

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2018 13:31 — Editoval slender (27. 08. 2018 13:36)

Střední hodnota součtu hodů několika kostkami

#2 27. 08. 2018 13:41

Re: Střední hodnota součtu hodů několika kostkami

#3 27. 08. 2018 13:58

Re: Střední hodnota součtu hodů několika kostkami

Zápatí