Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 08. 2018 13:31 — Editoval slender (27. 08. 2018 13:36)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Střední hodnota součtu hodů několika kostkami

Zdravím,
přemýšlím nad řešením následující úlohy:

Máme klasickou šestistěnnou hrací kostku. Hodíme touto kostkou a výsledek označíme $N$. Následně hodíme $N$ krát kostkou, součet těchto $N$ hodů označíme $X$. Určete střední hodnotu $X$.

Jako pracné řešení úlohy se nabízí vypočítat dílčí střední hodnoty $E(X\vert N=1), \dots, E(X\vert N=6)$,
potom $EX=\sum_{n=1}^6\frac{1}{6}\cdot E(X\vert N=n)$, protože veličiny $(X|N=i), (X|N=j)$ jsou nezávislé pro různá $i, j$.

Nevím ale, jak elegantně vypočítat $E(X\vert N=n)$ pro vyšší $n$, sestavil jsem obecný vzorec:

$E(X\vert N=n)=\sum_{k=n}^{6n}k\cdot\frac{\text{počet možností, jak }n\text{ kostkami hodit součet }k}{6^n}$

Nemůžu ale přijít na to, jak vyjádřit ten $\text{počet možností, jak }n\text{ kostkami hodit součet }k$. Pro $n\leq3$ to ještě mechanicky jde, dál už je to ale docela řehole, takže předpokládám, že autor úlohy chce, abych použil třeba nějakou vlastnost střední hodnoty, abych si tu práci zjednodušil.

Nevíte někdo, prosím, jak na to?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) slender)

#2 27. 08. 2018 13:41

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Střední hodnota součtu hodů několika kostkami

A i když jsem před tím nad tím dumal přes půl hodiny, jakmile jsem sesmolil příspěvek, napadlo mě řešení.

Rozdělení náhodné veličiny $E(X|N=n)$ je symetrické a největší pravděpodobnost mají hodnoty nejbližší průměru možných součtů. Tedy střední hodnota $E(X|N=n)$ je průměr možných hodnot. Díky symetrii je to navíc totéž jako průměr krajních hodnot, tedy $E(X|N=n)=\frac{n+6n}{2}$.

Dál už je to jednoduché.

Offline

 

#3 27. 08. 2018 13:58

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5650
Reputace:   215 
Web
 

Re: Střední hodnota součtu hodů několika kostkami

Pokud mě paměť neklame, existuje věta, která říká, že za nějakých jednoduchých podmínek platí $E\sum_1^NX_i=(EN)(EX)$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson