Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Pozdravujem ↑↑ MichalAld:,
Niekedy porozumiet dokaz v matematike potrebuje cas.
Skusme napredovat.
Kludne mozes pouzit vyssie napisane vety a si s casu na cas precitaj ich dokazy. A uvidis, ze po viacerych pozornych citaniach, ti z razu bude vsetko jasne.
Tak pokracujme z vetou 3.
V nej ide o upresnenie grupy vdaka rozlozeniu na jeho prvociselne factory.
V dokaze pouzijem vlasnost konecnych telies ( ktoru tu teraz nedokazem, ale mozmem, ak o tom tu pridat jej dokaz, ak si to niekto zela). Ide o multiplikativna grupa konecneho telesa je cyklicka.
Offline
Pokracovanie.
V nasledujucych dokazoch treba rozlisovat dva pripady: p=2 alebo p je neparne.
Na dokaz
B) , kde a je cele cislo a tiez nech prvocislo .
pouzijeme
Ak ,tak kde je nesudelitelne z.
Dokaz sa da urobit vdaka indukcii.
Offline
Pokracovanie.
Akoze, zatial som nevidel ziadnu reakciu tak tu dam zaciatok dokazu poslednej vlasnosti.
Pre mame .
Akoze, pre , a pre a samozrejme pre tak na koniec mame aj:
( kde u je prirodzene cislo take, ze ...). A ak polozime ( iste okamzite vidis, ze je nesudelitelne s ) mame ukonceny dokaz pre .
Chces skusit pokracovat?
Offline
Teraz dokazem, ze ak vlasnost z #77 plati pre n=k, tak plati aj pre n=k+1.
Cize,predpokladam, ze .
Co da ( necham ti samemu zvovodnit nejake mikroetapy) a konecne (kde oznacim )
Offline
Maly doplnok ( co sa tyka tych mikroetap)
Offline
Teraz mozme pouzit vlasnost z #77 na dokaz, ze je prvok radu grupy .
Vidite ako?
Offline
Ako prve konstatujem, ze mi da pre :
, co da .
Ale to nestaci na dokaz ↑ vanok:, viete ako ho ukoncit?
Offline
Pokracovanie.
Treba napr. este toto:
Pre mame (lebo nie je delitelne cislom p).
Offline
Pokracovanie.
Pripomeniem, ze akoze je teleso, tak je cyklicka grupa radu .
Tiez je jasne , ze identita na nam da sujekciu
, ktoru pouzijeme na ukoncenie dokazu vety 3 B).
Tiez nam bude uzitocne vediet, ze
Pre prvky grupy radov , ktore komutuju (cize ) a su nesudelitelne, potom rad prvku je .
( dokaz je velmi jednoduchy, ak treba ho tu pridam)
V buducom prispevku ukoncim dokaz vety 3 B).
Offline
Tak slubeny koniec dokazu:
Nech take, ze generuje .
Nech je rad prvku .
Tak a preto ; a tak existuje radu .
Akoze grupa je komutativna, prvok ma rad .
Co da, ze je cyklicka a isomorfna s grupou
Offline
Pokracovanie.
Tak ostava dokazat este cast vety 3 C), D) a F) ( cize situaciu ked p=2).
C) a D) su velmi jednoduche, tak dokazme poslednu cast vety F) vety 3).
Na to pouzijeme vlasnost
Nech (k nenulove prirodzene cislo),
potom kde je neparne
Tato vlasnost sa ukaze vdaka indukcii.
Na pokracovvanie.
Offline
Dokaz vlasnosti z#86.
Pre k=1, mame .
Predpokladajme, ze plati ,
tak .
Ukoncenie dokazu vety 3 F)
Je jasne,ze 5 je radu v
Je tiez jasne, ze identita na da
.
A tak isomorfismus
kde pre a pre .
En plus obsahuje groupu generovanu prvkom a vdaka radu prvku 5, je radu .
Co ukoncuje dokaz.
Offline
Pozdravujem,
Zatial nase uvahy o maticach v specialnych pripadoch nas doviedli k uvaham v teorii grup.
A tak sme aj dokazali nejake uzitocne vlasnosti.
Akoze ostavame ( zatial) len v jednoduchych pripadoch.
Polozme si takuto otazku.
Mame danu stvorcovu maticu A.
Ako popisat vsetki matice B, ktore s nou komutuju?
Offline
↑ vanok:
Pokracujme.
Zacnime z maticamy typu 2x2. Na zaciatok na telese .
Offline
↑ vanok:,
Tu mozme zobrat 2 matice A, B a vysetrit ake relacie musia platit pre koficienty danych matic aby platilo .
Offline
Cau ↑ MichalAld:,
Chces to skusit.
Tak polozim
A teraz vypocitaj a tiez .
Offline
No, pokud si to dobře pamatuji, tak násobení matic se dělá jako:
Takže:
C=AB
c11=a11 b11 + a12 b21 = ae + bg
c12=a11 b12 + a12 b22 = af + bh
c21=a21 b11 + a22 b21 = ce + dg
c22=a21 b12 + a22 b22 = cf + dh
D = BA
d11=b11 a11 + b12 a21 = ea + fc
d12=b11 a12 + b12 a22 = eb + fd
d21=b21 a11 + b22 a21 = ga + hc
d22=b21 a12 + b22 a22 = gb + hd
Offline
Ahoj ↑ MichalAld:,
Pochopitelne to si iste kazdy zapamäta na cely zivot. V matricovej forme sa to napise:
a
A tak nam sa jeden system rovnic.
Offline
Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Po malych ekvivalentnych upravach prideme k
To nam umozni dat odpoved na nas problem.
Mozme uvazovat tri situacie.
A) a zaroven
B)
C) .
A potom v kazdej situacii potom popisat mozne riesenia.
Na pokracovanie.
Offline
Servus ↑ MichalAld:,
Tak pokracujem s #95
V situacii A) prideme k
( pre tych co to neviadia, staci vynasobit krizovo druhu a tretiu rovnicu a zjednodusit)
Situacie B) a C) su dost podobne.
B) je ekvivalentna s a naviac
a zaroven
alebo
C) je ekvivalentna s a naviac
a zaroven
alebo
.
Offline
Pochopitelne v konkretnych pripadoch, vdaka ↑ vanok: mozme hladat pre danu maticu A, matice B take, ze AB=BA ( stale nase matice su typu 2x2) tak ze vyriesime zodpovedajuci linearny system.
Offline
↑ vanok:,
Tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=103403 je jeden taky priklad.
Offline
↑ vanok:,
Pre pripadnych riesiteov.
Vsimli ste si ze v rieseni je napisane, ze je mnozina rieseni.
Ako sa to overi?
A tak je baza priestoru rieseni . Vyjadrite v nej .
Najdite charakteristicky polynom matice .
Vidite nejaky suvis z predoslou otazkou.
Offline
↑ vanok:
Odpoved.
je mnozina rieseni.
Staci vyjadrit ako lineanu kombinaciu matic a jednotkovej matice (tu oznacenej ).
Kontrola
Offline