Matematické Fórum

Dobson · 06. 10. 2018 21:07

Ahoj. Mám příklad:
Urči střed kružnice opsané trojúhelníku ABC, A [3;1], B [2;–2], C [6;6]. Vím, že stačí vytvořit soustavu 3 obecných rovnic kružnice k vyřešení. Ale napadl mě další způsob, který mi ale nevychází. Chtěl bych se tedy zeptat, zda je způsob špatný, nebo dělám pouze chybu ve výpočtu.
Napadlo mě spočítat střed bodu AB. Z AB udělat vektor, z něho pak normálový a udělat obecnou rovnici přímky, do které dosadím právě střed AB. Potom bych udělal totéž s CB - střed CB a normálový vektor + obecná rovnice se středem CB.
Potom soustavu těchto dvou rovnic. Po výpočtu vyjdou body, které by měly být středem kružnice.
Co myslíte, je způsob správný?

Správný střed je [22;-7]
Díky.

Ferdish · 06. 10. 2018 21:32

Áno, aj toto je spôsob ako nájsť stred kružnice opísanej trojuholníku.

BTW riešením sústavy dvoch rôznobežných priamok je vždy len jeden bod.

misaH · 06. 10. 2018 22:36 — Editoval misaH (06. 10. 2018 22:36)

↑ Ferdish:

No a ešte 1 BTW ... stred bodu AB neexistuje :-)

Ten "ich" stred je správny...

Jj · 06. 10. 2018 22:40

↑ Dobson:

Dobrý večer. Váš postup je v podstatě výpočtem průsečíku os dvou stran trojúhelníku, které se protínají ve středu kružnice trojúhelníku opsané. Pro zajímavost uvádím další podobný postup.

Lze vyjít i z toho, že osa úsečky je množinou bodů stejně vzdálených od krajních bodů úsečky a z toho odvodit její rovnici (pro zjednodušení je možno při výpočtu uvažovat i čtverec vzdálenosti - výsledek bude tentýž):

$o_{AB}: (x-3)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y+2)^2\Rightarrow x+3y-1=0$
$o_{BC}: (x-2)^2+(y+2)^2=(x-6)^2+(y-6)^2\Rightarrow x+2y-8=0$

$\Rightarrow S[22;-7]$

V podstatě se zapsané výrazy jen zjednoduší umocněním, kvadratické členy na obou stranách se vyruší a po drobné úpravě hned máme obecné rovnice dvou os stran trojúhelníku a můžeme spočítat jejich průsečík.

misaH · 06. 10. 2018 22:57

↑ Jj:

:-)

Alebo uvážiť, že vzdialenosť |AS|=|BS|=|CS|.

Je to to isté, ibaže bez úvah o osi.

Zadávateľ chcel asi iba schválenie svojho postupu, ale jednoduchšie je určite vychádzať z tých vzdialeností...

Jj · 06. 10. 2018 23:05

↑ misaH:

:)

Ano, napssl jsem to jenom pro zajímavost.

Dobson · 06. 10. 2018 23:29

Děkuji mnohokrát za vaše reakce.

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2018 21:07

Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

#2 06. 10. 2018 21:32

Re: Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

#3 06. 10. 2018 22:36 — Editoval misaH (06. 10. 2018 22:36)

Re: Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

#4 06. 10. 2018 22:40

Re: Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

#5 06. 10. 2018 22:57

Re: Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

#6 06. 10. 2018 23:05

Re: Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

#7 06. 10. 2018 23:29

Re: Střed kružnice opsané - způsob výpočtu

Zápatí