Matematické Fórum

ebabuli · 23. 10. 2018 23:19

Zdravím ;) poradí mi prosím někdo jakým směrem se ubírat u tohoto příkladu?
Určete rovnici kružnice, která prochází bodem R(2,1) a dotýká se osy x v bodě (1,0) VÝSLEDEK: S(1,1) tedy $x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ zkoušela jsem soustavu rovnic ale někde bude zase zádrhel

laszky · 23. 10. 2018 23:37 — Editoval laszky (23. 10. 2018 23:42)

↑ ebabuli:

Ahoj, pokud se dotyka osy x v bode [1,0], potom musi mit stred kruznice x-ovou souradnici rovnou jedne a polomer kruznice bude roven (absolutni hodnote) y-ove souradnice stredu.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ebabuli · 24. 10. 2018 00:07

↑ laszky: ok a ještě trošku jinak abych to pochopila....co kdyby se dotýkala na ose y v bodě (0,3)?? pořád nevím vlastně co a jak počítám :)

Ferdish

↑ ebabuli:
V tomto druhom prípade by (analogicky) y-ová súradnica stredu bola rovná 3, a polomer rovný absolútnej hodnote x-ovej súradnici stredu.

Základom takýchto úloh je vždy obrázok/náčrt, z ktorého by to malo byť už zrejmé. Skús si teda obe zmienené kružnice zakresliť do súradnicovej sústavy...

Rumburak

↑ ebabuli:

Ahoj. Šel bych na to přísně analyticky (aby ses naučila tuto metodu pro složitější úlohy).

Každá kružnice v rovině opatřené kartéskou soustavou souřadnic má nějaký střed $S[m,n]$
a nějaký poloměr $r>0$ , při čemž její rovnici je možno vyjádřit ve tvaru

(A) $(x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2$ .

Podmínka "prochází bodem $[2,1]$ " dle (A) znamená, že musí být splněna rovnice

(1) $(2-m)^2 + (1-n)^2 = r^2$ .

Z podmínky "dotýká se osy $x$ v bodě $[1,0]$ " plynou dvě věci:

jadnak že hledaná kružnice uvedeným bodem prochází, což vede k rovnici

(2) $(1-m)^2 + (0-n)^2 = r^2$ ,

a dále že bod $[1,0]$ je jediným společným bodem kružnice (A) a osy $x$ , jinými slovy:
je-li $[x, 0]$ bodem hledané kružnice, potom $x = 1$ . To znamená. že rovnice

(B) $(x-m)^2 + (0-n)^2 = r^2$

(ekvivalentně upravitelná na kvadratickou rovnice s naznámou $x$ a parametry $m, n, r$ )
má jediné řešení (a sice $x = 1$ ). To vede k podmínce na diskriminant $D(m,n,r)$ této
kvadratické rovnice, a sice k podmínce

(3) $D(m,n,r) = 0$ .

Rovnice (1), (2, (3) tvoří soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou vyřešíme.

ebabuli · 24. 10. 2018 20:08

↑ Rumburak: no tak se na mne musí hezky polopatě ;) takže budu mít 3 rovnice $(2-m)^2 + (1-n)^2 = r^2$ pod ní hned druhou $(1-m)^2 + (0-n)^2 = r^2$ a třetí jsem teda nepobrala :(

Al1 · 24. 10. 2018 22:11 — Editoval Al1 (25. 10. 2018 13:36)

↑ ebabuli:
Zdravím,

máš celou situaci nakreslenou, jak ti radil kolega ↑ Ferdish:?

Zde je podobná situace (volil jsem záměrně jinou kružnici, i když bod dotyku jsem nechal stejný)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-10/11453_kruz.png

Z něho je patrné, že pokud je střed kružnice $S[m,n]$ a kružnice se dotýká osy x v bodě $[1,0]$ , pak platí, že m=1. A když se podíváš na poloměr kružnice (zde r=3) a druhou souřadnici středu zjistíš, že musí platit: r=n.
Proto daná rovnice má tvar $(x-1)^2+(y-n)^2 = n^2$ (opět viz kolega ↑ Ferdish:). Nyní stačí do této rovnice dosadit bod $[2,1]$ . Máš jednu rovnici pro jednu neznámou.

Rumburak

↑ ebabuli:

Rovnici $(x-m)^2 + (0-n)^2 = r^2$ nejprve upravíme na tvar

$x^2 - 2mx + (m^2 + n^2 - r^2) = 0$ .

Diskriminantem této kvadratické rovnice bude (podle příslušného vzorce, který bys měla znát)

$D = (-2m)^2 - 4(m^2 + n^2 - r^2)$ .

Platí věta: Kvadratická rovnice má jediné řešení právě tehdy, je-li její diskriminant roven 0.
Odtud ona třetí rovnice

$(-2m)^2 - 4(m^2 + n^2 - r^2) = 0$ .

gadgetka

Zdravím, příklad můžeš řešit i přes vzdálenost dvou bodů, ze zadání musí platit, že $|SR|=|SA|$ , kde bod A je bod dotyku s osou x.
$S[x; y]$

$(2-x)^2+(1-y)^2=(1-x)^2+(0-y)^2$

Do rovnice přímky, která je řešením rovnice, pak stačí dosadit x-ovou souřadnici středu, která je jasná ze zadání a dopočítat souřadnici y-ovou. :)

P. S. Případně už můžeš vyjít ze souřadnic středu S[1; 0] a ulehčit si výpočet. :)
$(2-1)^2+(1-y)^2=(1-1)^2+(0-y)^2$

ebabuli · 25. 10. 2018 19:30

hned na vše mrknu moc děkuji všem za rady ;)

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2018 23:19

kuželosečky5

#2 23. 10. 2018 23:37 — Editoval laszky (23. 10. 2018 23:42)

Re: kuželosečky5

#3 24. 10. 2018 00:07

Re: kuželosečky5

#4 24. 10. 2018 01:24 — Editoval Ferdish (24. 10. 2018 01:35)

Re: kuželosečky5

#5 24. 10. 2018 11:39 — Editoval Rumburak (25. 10. 2018 14:32)

Re: kuželosečky5

#6 24. 10. 2018 20:08

Re: kuželosečky5

#7 24. 10. 2018 22:11 — Editoval Al1 (25. 10. 2018 13:36)

Re: kuželosečky5

#8 25. 10. 2018 10:58 — Editoval Rumburak (25. 10. 2018 11:38)

Re: kuželosečky5

#9 25. 10. 2018 13:48 — Editoval gadgetka (25. 10. 2018 13:53)

Re: kuželosečky5

#10 25. 10. 2018 19:30

Re: kuželosečky5

Zápatí