Matematické Fórum

Matthew19 · 28. 10. 2018 11:33

Zdravím,

mám za úkol určit infimum a supremum u množiny přirozených (N) a reálných (R) čísel a u prázdné množiny. Dočetl jsem se, že u přirozených čísel je infimem -nekonečno a supremem +nekonečno a u prázdné množiny je to prý naopak. Jenže nevím, jestli jsou tyto informace správné a jak případně zdůvodním. U samotné množiny R předpokládám, že infimum ani supremum nemá, protože není zdola ani shora omezená.

Budu rád, pokud sem někdo napíše svůj pohled na věc.

vlado_bb · 28. 10. 2018 16:31

↑ Matthew19: Nie su spravne. Aku literaturu pouzivas?

Matthew19 · 28. 10. 2018 17:03

↑ vlado_bb: U prázdné množiny jsem čerpal z článku na wikipedii:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A1z … o%C5%BEina
To, že nekonečno je supremem N jsem se dočetl tady:
http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/1/txc3ba1b.htm

Mohl bys mi tedy říct, jak to je správně?

vlado_bb

↑ Matthew19: Spravne je mat papierovu knihu alebo skripta, v nich najst definiciu suprema a infima a pochopit ich. Pokial ide o N, to infimum je teda ake? Ak chapes definiciu infima, budes to vediet.

Matthew19 · 28. 10. 2018 18:23

↑ vlado_bb: Definici suprema a infima znám a do teď jsem si myslel, že ji i chápu. U prázdné množiny si to ale moc nedokážu představit a odůvodnit. Myslel jsem, že infimem N je minus nekonečno, protože jsem se dočetl, že supremem je plus nekonečno...

vlado_bb · 28. 10. 2018 18:30

↑ Matthew19: V tom pripade definiciu infima nechapes. Skus overit ci ju $-\infty$ splna.

MichalAld

↑ vlado_bb:
A jak je to s tou prázdnou množinou ? Podle mého "selského rozumu" by žádné infimum ani supremum mít neměla...třeba jen proto, že prázdná množina může být "prázdná množina čehokoliv", co nijak s čísly nesouvisí.

Na té odkazované wiki je použitý termín "prázdná množina reálných čísel", to se opravdu používá ?

MichalAld · 29. 10. 2018 17:58

Matthew19 napsal(a):
↑ vlado_bb: Definici suprema a infima znám a do teď jsem si myslel, že ji i chápu. U prázdné množiny si to ale moc nedokážu představit a odůvodnit. Myslel jsem, že infimem N je minus nekonečno, protože jsem se dočetl, že supremem je plus nekonečno...

Možná také nechápeš, co jsou "přirozená čísla"...

Stýv · 29. 10. 2018 18:12

MichalAld napsal(a):
↑ vlado_bb:
A jak je to s tou prázdnou množinou ? Podle mého "selského rozumu" by žádné infimum ani supremum mít neměla...třeba jen proto, že prázdná množina může být "prázdná množina čehokoliv", co nijak s čísly nesouvisí.

Na té odkazované wiki je použitý termín "prázdná množina reálných čísel", to se opravdu používá ?

No minimálně jednou už to použito bylo.:-)

A pokud ti opravdu není jasné, proč má prázdná množina inf a sup taková, jaká má, tak si tu definici inf a sup taky ještě jednou prostuduj.;-)

vlado_bb · 29. 10. 2018 20:13

MichalAld napsal(a):
↑ vlado_bb:

Na té odkazované wiki je použitý termín "prázdná množina reálných čísel", to se opravdu používá ?

Dobra ukazka toho, ze Wikipedia nie je zdroj pre studium.

Brano · 29. 10. 2018 22:06

vlado_bb napsal(a):
MichalAld napsal(a):
↑ vlado_bb:

Na té odkazované wiki je použitý termín "prázdná množina reálných čísel", to se opravdu používá ?
Dobra ukazka toho, ze Wikipedia nie je zdroj pre studium.

Wikipedia naozaj nieje dobry zdroj studia, lebo je to encyklopedia a nie ucebnica. Ale je velmi dobry zdroj ked ide o referencie, lebo je to encyklopedia ...

informacie v nej su skor spravne ako nespravne, tlacena ucebnica ma obvykle vacsiu hustotu chyb a nepresnosti, lebo ju nemoze niekto neustale editovat.

prazdna mnozina je prazdna mnozina cohokolvek a teda pokojne aj realnych cisel.

btw. $\inf\emptyset = \infty$ a $\sup\emptyset = -\infty$ je obvyklou sucastou definicie pojmov infimum a supremum ak sa definuju v kontexte realnej analyzy co je typicky prvy predmet v ktorom sa s nimi student stretne.

samozrejme sa da ta definicia urobit aj bez nej ... to uz je tazky zivot matematika, ze si musi davat pozor na rozne neekvivalentne definicie rovnakych pojmov.

vanok · 29. 10. 2018 22:40

Ahoj ↑ Brano:,
Dovolim si doplnit tvoj prispevok.
Definicia sup a inf sa rozlisuje pokial pracujeme v $\Bbb R$ alebo $\overline{ \Bbb R}$ (komplete $\Bbb R$ ).

MichalAld · 29. 10. 2018 23:04

↑ Stýv:
No já se snažím...

Našel jsem třeba takovouto definici.

Jenže pořád je tam množina X a její podmožina Y, u které hledáme to infimum. Pokud bude X množina reálných čísel a Y prázdná množina, tak vyjde co říkáš.

Ale co když nebude X = R, co když bude X třeba jen interval, <0, 1>. Prázdná množina je i jeho podmožinou (prázdná množina je podmožinou všeho, né ?). Potom to nekonečno určitě nebude (infimum musí být prvek z množiny X).

Prostě mi připadá, že představa infima prázdné množiny je divná, že výsledek nezávisí na té prázdné množině, ale na té její nadmožině (jestli se to tak nazývá). Do jisté míry to na ní závisí i jindy, ale jen jako takové omezení. Jinak je ale infimum nějaké množiny vlastností té množiny. Zatímco u prázdné množiny né, tam je to čistě vlastností té nad ní. Proto mi ten pojem přijde divný...

Já teda vlastně nechápu ani to nekonečno jakožto prvek množiny R...myslel jsem, že R neobsahuje nekonečna...ale to s tím předchozím asi nesouvisí.

MichalAld · 29. 10. 2018 23:05

vanok napsal(a):
Definicia sup a inf sa rozlisuje pokial pracujeme v $\Bbb R$ alebo $\overline{ \Bbb R}$ (komplete $\Bbb R$ ).

Jaký je mezi tím vlatně rozdíl ?

vanok · 29. 10. 2018 23:15

↑ MichalAld:,
$\overline{ \Bbb R}=\Bbb R \cup \{-\infty; +\infty \}$

Brano · 30. 10. 2018 01:32

↑ vanok:

dobra poznamka - myslim, ze najjednoduchsia varianta s ktorou som sa stretol je ze sa uvazuje iba pripad $\overline{\mathbb{R}}$

Aspro1 · 30. 10. 2018 08:13

Pro množinu všech reálných čísel rozšířenou o ta dvě nekonečna se někdy používá zde uvedený symbol $\overline{\mathbb{R}}$ , ale lepší prý je používat symbol $\mathbb{R}^*$ , protože pruh se používá pro uzávěr množiny.

Myslím, že pro prázdnou množinu musíme definovat infimum a supremum explicitně, protože jinak se tyto pojmy definují pomocí největší dolní a nejmenší horní závory množiny. Množinou dolních nebo horních závor prázdné množiny je celá množina $\mathbb{R}$ , tam žádný nejmenší ani největší prvek není.

MichalAld · 30. 10. 2018 08:18

Prostě, nejjednodušší by bylo říct, že supremum a infimum prázdné množiny odpovídá minimu a maximu té její nadmnožiny (a případně proč) .... a pak teprve, že pro R to neexistuje a pro R* je to plus minus nekonečno. A každý (nebo teda aspoň já) by to hned pochopil.

Stýv · 30. 10. 2018 09:10

↑ MichalAld: No a to je právě to důležitý si uvědomit, že sup/inf závisí na "kontextu", tj. na té nadmnožině. Neplatí to jenom pro prázdnou množinu. Např. neomezené množiny nemají sup v R, ale mají sup v R*. Nebo ještě "lepší" příklad: jaképak je např. $\sup (0,1)$ v množině $(0,1)\cup\[2,3\]$ ?;-)

jarrro · 30. 10. 2018 12:21 — Editoval jarrro (30. 10. 2018 12:22)

↑ MichalAld:Obyčajne sa definuje supremum resp. infimum podmnožiny posetu ako najmenšie horné resp. najväčšie dolné ohraničenie. Množina horných resp. dolných ohraničení prázdnej množiny je celý poset, lebo
Výroky $$\forall x\in \emptyset$$x\leq y$$ a $$\forall x\in \emptyset$$x\geq y$$ platia pre všetky $y$ z posetu
Teda infimum je najväčší prvok posetu a supremum najmenší (v prípade $\mathbb{R}^{\star}$ sú to $\pm\infty$ )

krakonoš · 30. 10. 2018 12:40

↑ MichalAld:Mnozina realnych cisel je v analyze rozsirena o plus a minus nekonecno hlavne kvuli limitam.Nekonecna nejsou bezne brana jako realna cisla,protoze nesplnuji stejna pravidla jako cisla,netvori Abelovu grupu. 0 krat nekonecno neni nekonecno apod.Ale v limitach a nasledne u prubehu funkce s nimi musis jako s cisly pracovat,maji vsak sva pravidla. Vsimni si posledniho prikladu v limit maratonu. I zde musis limitu pocitat,ze si uvedomis ,ze n! je nejvyssi mocnina a vydelis citatele i jmenovatele n!.Rozhodne ale nemuzrs pouzit uvahu,ze kdyz limita podilu je 1 ,tak limita rozdilu je 0. Mej se hezky.

byk7 · 31. 10. 2018 13:21

Jen dodám, že hodnota suprema a infima prázdné množiny závisí na volbě její nadmnožiny a uspořádání.

- pro $\emptyset\subset\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ je $\inf\emptyset=+\infty,\sup\emptyset=-\infty$

- pro $\emptyset\subset\mathbb{R}$ ani jeden z výrazů $\inf\emptyset,\sup\emptyset$ neexistují

- pro $\emptyset\subset(\mathbb{N},\mid)$ (přirozená čísla uspořádaná dělitelností) máme $\sup\emptyset=1$ a $\inf\emptyset$ neextuje

- pro $\emptyset\subset(\mathbb{N}\cup\{0\},\mid)$ je $\sup\emptyset=1,\inf\emptyset=0$

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2018 11:33

Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#2 28. 10. 2018 16:31

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#3 28. 10. 2018 17:03

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#4 28. 10. 2018 17:27 — Editoval vlado_bb (28. 10. 2018 17:39)

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#5 28. 10. 2018 18:23

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#6 28. 10. 2018 18:30

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#7 29. 10. 2018 17:57 — Editoval MichalAld (29. 10. 2018 18:02)

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#8 29. 10. 2018 17:58

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

Matthew19 napsal(a):

#9 29. 10. 2018 18:12

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

MichalAld napsal(a):

#10 29. 10. 2018 20:13

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

MichalAld napsal(a):

#11 29. 10. 2018 22:06

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

vlado_bb napsal(a):

MichalAld napsal(a):

#12 29. 10. 2018 22:40

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#13 29. 10. 2018 23:04

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#14 29. 10. 2018 23:05

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

vanok napsal(a):

#15 29. 10. 2018 23:15

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#16 30. 10. 2018 01:32

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#17 30. 10. 2018 08:13

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#18 30. 10. 2018 08:18

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#19 30. 10. 2018 09:10

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#20 30. 10. 2018 12:21 — Editoval jarrro (30. 10. 2018 12:22)

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#21 30. 10. 2018 12:40

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

#22 31. 10. 2018 13:21

Re: Infimum a supremum R, N a prázdné množiny

Zápatí