Matematické Fórum

4d4nsoni4 · 21. 11. 2018 12:15

Ahoj,
nejsem si jistá, jak mám dopočítat bázi obrazu zobrazení. Vyberu lineárně nezávislé vektory, ale jsou to ty, co mi vyjdou v matici v schodovitém tvaru, nebo tam mám dát ty z původních polynomů?
Na fotce mám postup, jak jsem řešila a obě možnosti dole zakroužkované. Zadání je spočítat bázi obrazu a jádra zobrazení psí.
Moc děkuji za pomoc.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/98834_zobrazeni.jpg

Aspro1 · 22. 11. 2018 09:18

Nejdříve si musíme uvědomit, že obraz zobrazení $\psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ je podprostorem prostoru $\mathbb{R}^3$ a jádro tohoto zobrazení je podprostorem prostoru $\mathbb{R}^4$ .

Původní matice, kterou tam máš, popisuje dané zobrazení vůči standardním bázím prostorů $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{R}^3$ . Ve sloupcích matice zobrazení jsou souřadnice (vůči standardní bázi prostoru $\mathbb{R}^3$ ) obrazů vektorů standardní báze prostoru $\mathbb{R}^4$ . Z těchto 4 sloupců potřebujeme vybrat lineárně nezávislý soubor sloupců, abychom našli bázi obrazu zobrazení. Takže je třeba dělat v matici sloupcové (ne řádkové) ekvivalentní úpravy, abychom matici upravili do stupňovitého tvaru a mohli vybrat lineárně nezávislý soubor sloupců.

Pro nalezení báze jádra zobrazení $\psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definovaného maticí $\mathbb{A}$ řešíme rovnici $\mathbb{A} \textbf{x} = \textbf{0}_{\mathbb{R}^3}$ . Tentokrát už děláme ekvivalentní řádkové úpravy. Je to soustava 3 rovnic se 4 neznámými, takže alespoň jednu neznámou můžeme volit libovolně (například $y_4 = \alpha$ ), takže najdeme řešení $\textbf{x} \in \mathbb{R}^4$ ve tvaru nějaké lineární kombinace vektorů, minimálně ve tvaru $\alpha$ -násobku nějakého nenulového vektoru. Z těchto vektorů vybereme lineárně nezávislý soubor vektorů a máme bázi jádra zobrazení.

4d4nsoni4 · 25. 11. 2018 19:49

Děkuji!

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2018 12:15

Báze obrazu zobrazení

#2 22. 11. 2018 09:18

Re: Báze obrazu zobrazení

#3 25. 11. 2018 19:49

Re: Báze obrazu zobrazení

Zápatí