Matematické Fórum

koubek10 · 26. 05. 2009 14:59

Dobrý den.Prosím vás po moste mi já už nevím jak nato.

Určete aritmetickou posloupnost ve které platí
a2+a5-a3 = 10 a a1+a6=17. výsledek je a1=1,d=3
jak na to přišli prosím celí postup

Součet prvních osmi členů aritme posloupnosti celých čísel je 100,
znásobímeli osmý člen součtem všech předcházejících členů,obdržíme číslo 1771.určete tuto posloupnost a1=2,d=2
jak na to přišli celí příklad vysvětlit prosím.

Mezi čísla 8 a 216 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořily geometrickou posloupnost výsledek 8,24,72,216
jak na to přišli

tři čísla která tvoří aritmetickou posloupnost mají součet 30.Odečtemeli od prvních 5, od druhého 4 a třetí ponecháme dostaneme geometrickou posloupnost.Určete obě posloupnosti

částka 100 000kč se bude splácet ročně v pěti stechných splátkách. První splátka bude zaplacena po třech letech. Jak budou splátky veliké,jeli urokování 2,5% prosím napsat celí příklad.

Za jak dlouho nastřádáme 90 000Kč při ukládání částky 2 000kč na počátku každého roku při 2% úrokování.

Děkuji předem.

lukaszh · 26. 05. 2009 15:13

↑ koubek10:
Všetky tvoje typy príkladov sú tu aj päť krát riešené. Skús pohľadať.

ttopi · 26. 05. 2009 15:14

K tý finanční matematice. Máš úrokovou míru 2,5% a úrok se tedy spočítá 7x - po 2 letech bez splátek, dalších 5 let se splátkami. Takže celková suma, kterou splatíš je $100000(1+5\cdot 0,025)=117500Kc$ a to splatíš v 5 stejných splátkách. Takže jedna splátka je 23500Kč.

ttopi · 26. 05. 2009 15:33

To šetření. Pominu-li daň z úroku, tak pak je to vlastně aritmetická poísloupnost, protože v prvním roce úročíš 2000, ve druhém 4000, pak 6000 atd. Takže $a_1=2000\cdot1,02\nld=2000\cdot1,02$ a potřebuješ zjistit, pro jaké n je součet všech členů větší rovno 90 000.
$90000\le\frac{n}{2}(a_1+a_1+(n-1)d)$ .

Mě vyšlo po 9 letech

Chrpa · 26. 05. 2009 16:31

↑ koubek10:
Př.1)
Postupů je celá řada (můj postup)
$a_2+a_5-a_3=10\nla_1+d+a_1+4d-a_1-2d=10\nla_1+3d=10\nla_4=10$
$a_1+a_6=17\nla_1+a_1+5d=17\nla_4-3d+a_4-3d+5d=17\nl2a_4-d=17\nld=2a_4-17\nld=20-17\nld=3$
$a_1=a_4-3d\nla_1=10-3\cdot 3\nla_1=10-9\nla_1=1$

ttopi · 26. 05. 2009 16:37

Mezi čísla 8 a 216 vložte čísla tak, aby s danými čísly tvořily geometrickou posloupnost

Je jasné, že číslo 216 musí vzniknout z čísla 8 vynásobením n-krát qocientem q. A sice 216=8*27. Mohlo by tedy q být 27, ale je požadováno, aby mezi 8 a 216 byl ještě nějaký člen. Proto musíme číslo 27 rozložit jako n-tou mocninu nějakého q. 2 mocnina to být ničeho nemůže v Z, ale třetí už jo a sice 3*3*3=27. Znamená to, že 216 je 4.členem této posloupnosti a lehce spočtem 2.člen jako 8*3=24 a 3. člen jako 24*3=72. Pak 4.člen je opravdu 72*3=216.

ttopi · 26. 05. 2009 16:49

tři čísla která tvoří aritmetickou posloupnost mají součet 30.Odečtemeli od prvních 5, od druhého 4 a třetí ponecháme dostaneme geometrickou posloupnost.Určete obě posloupnosti

Mé řešení (možná na to jdu složitě, ale co už :-)

Z aritmetické posloupnosti, kde:
$a_1=a_1\nla_2=a_1+d\nla_3=a_1+2d$ víme, že $a_1+a_2+a_3=30\nl3a_1+3d=30\nla_1+d=10$

Pokud odečteme od a1 5, od a2 4 a a3 necháme, dostaneme geometrickou posloupnost se členy:
$g_1=a_1-5\nlg_2=a_1+d-4\nlg_3=a_1+2d$

protože jde o geometrickou posloupnost, musí být platit rovnost $\frac{g_3}{g_2}=\frac{g_2}{g_1}$ neboli $\frac{a_1+2d}{a_1+d-4}=\frac{a_1+d-4}{a_1-5}$ což vede na $3a_1=4d+16$ .

Máme tedy soustavu 2 rovnic o 2 neznámých:
$a_1+d=10\nl3a_1=4d+16$ s řešením $a_1=8\nld=2$

Aritmetická posloupnost je tedy dána $a_1=8\nld=2$ a geometrická posloupnost je dána $g_1=3\nlq=2$