Matematické Fórum

Pomeranc · 26. 11. 2018 21:25

Ahoj,
mohl by mi prosím někdo vysvětlit definici stejnoměrné konvergence pro posloupnosti funkcí?

vlado_bb · 26. 11. 2018 21:37

↑ Pomeranc: Ide o obycajnu konvergenciu postupnosti funkcii v priestore funkcii so supremovou metrikou.

MichalAld · 26. 11. 2018 21:47

↑ Pomeranc:

Nedávno se tu 2x řešila funkce, která stejnoměrně konvergentní není - zkus si to najít. Pak asi pochopíš, v čem to spočívá.

Laicky řečeno - když funkce konverguje stejnoměrně, musí konvergovat "shora", pokud né, může konvergovat "zboku" - tj že obsahuje nějaký "hrb", který se nezmenšuje, ale zužuje. Takže v každém bodě to sice konverguje, ale pořád existuje nějaké místo (nějaký bod), kde se to od výsledné funkce hodně liší.

vlado_bb · 26. 11. 2018 22:00

↑ MichalAld: Upresnim, ze ide nie o konvergenciu funkcie, ale postupnosti funkcii. Zadavatel sa s tymto pojmom zrejme iba zoznamuje, tak nech ma v terminologii jasno.

krakonoš · 26. 11. 2018 22:05

↑ Pomeranc:
Ahoj.

Nejprve si vysledujes bodovou konvergenci,t.j. volis jednotliva x a posles n do nekonecna,tak dostanes funkci f(x).Pri stejnomerne konvergenci si zvolis pas sire epsilon,pocinaje nejakym n indexem funkce v zavislosti na epsilon musi byt vzdalenost fn(x) ;f(x) mensi nez epsilon.,a to pro vsechna x z uvazovane mnoziny.

MichalAld · 26. 11. 2018 22:48

↑ vlado_bb:
Jo jo, v zápalu boje jsem na to zapoměl...

MichalAld

Příklad posloupnosti funkcí, která nekonverguje stejnoměrně je třeba tato:

$f_n(x) = x^n-x^{2n}$

a řeší se konvergence na intervalu <0; 1>

bodově to konverguje k funkci f(x) = 0. Ale pro každé n bude mít ta funkce někde na uvedeném intervalu takový hrb, a ten je stále stejně vysoký - jen se posouvá a zužuje.

A tady je graf několika vybraných funkcí z posloupnosti (myší to lze zvětšovat).

jarrro · 26. 11. 2018 23:01

Asi najjednoduchšie je povedať, že v prípade rovnomernej konvergencie číslo delta ktoré má ku kladnému epsilon podľa definície existovať závisí len na epsilon (je univerzálne pre všetky x), zatiaľ čo pri bodovej konvergencii môže závisieť aj na danom x.

Pavel · 26. 11. 2018 23:54

↑ MichalAld:

Stačí vzít posloupnost funkcí $f_n(x)=x^n$ , na intervalu $\langle 0,1\rangle$ , která bodově konverguje k funkci

$f(x)= \begin{cases} 0,&0\leq x<1\\ 1,&x=1, \end{cases}$

stejnoměrně však nikoliv.

Aspro1 · 27. 11. 2018 06:09

Vždycky musíme mluvit o stejnoměrné konvergenci na nějaké množině. Posloupnost $f_n(x)=x^n$ na intervalu $\langle 0; 1\rangle$ nekonverguje stejnoměrně, na intervalu $\langle 0; 1)$ také ne, ale pro každé $x_0 \in (0; 1)$ (i libovolně blízké k jedničce) stejnoměrně konverguje na intervalu $\langle 0; x_0\rangle$ .

Pomeranc · 29. 11. 2018 19:08

Děkuji všem za odpovědi a omlouvám se za zpoždění.
Ta bodová konvergence dává smysl. Mám posloupnost funkcí zafixuju si každé x a n pošlu do nekonečna.
Resp. to lze i říct, že pro každé x existuje nějaká limita.

U té stejnoměrné konvergence úplně nevím, co mi to říká, když to pro každé x je přesunuté oproti def bodové konvergence. Slyšela jsem i formulaci typu, že to znamená, že pro všechna x to konverguje stejnou rychlostí.
Celkově jsem zjistila, že když je kopeček, který se nezmenšuje, ale jenom se přesouvá, tak to nestejnoměrně konverguje.

MichalAld · 29. 11. 2018 21:23

Pomeranc napsal(a):
Celkově jsem zjistila, že když je kopeček, který se nezmenšuje, ale jenom se přesouvá, tak to nestejnoměrně konverguje.

Nevím, jestli se může říkat "nestejnoměrně konverguje", správně je to "nekonverguje stejnoměrně".
Jinak je to pravda - ale je to taková laická představa.

Správná představa je asi tahle....ale nejprve je nutné si udělat správnou představu o tom, co to vůbec znamená "konverguje". Znamená to, že když si zvolíme nějakou malinkou odchylku od té výsledné hodnoty v bodě x, tak se nám vždy podaří najít takové n, že máme skutečnou odchylku menší než tu, co jsme si zvolili. S tímhle je třeba se srovnat.

Pak už je to snadné, stejnoměrně to konverguje, když si zvolíme tu malinkou odchylku, a volbou dostatečně velkého n máme skutečnou odchylku menší VE VŠECH BODECH (né jen v jednom konkrétním).

Samozřejmě to musí být tak, aby nezáleželo na tom, jak malou si tu požadovanou odchylku zvolíme.

Takže když si řeknu, že |f(x) - fn(x)| musí být menší než třeba 0.000001, tak musí existovat n, pro které je to pravda. Bodově to konverguje tehdy, když pro každý bod x dokážu takové n najít. Stejnoměrně to konverguje tehdy, když takové n dokážu najít aby to platilo pro všechna x najednou.

A tady je právě vidět, proč ty posloupnosti, které konvergují "zboku" - tj že se kopeček zužuje a uhýbá, ale nesnižuje, že ty stejnoměrně nekonvergují. Protože pro každé zvolené n ten kopeček někde bude - a tam tu velmi malou odchylku nezískáme.

krakonoš

↑ MichalAld:
Ahoj.
Nutno poznamenat,ze snižování kopečků u zadané posloupnosti funkcí platí při konvergenci k nulové funkci f(x).
Funkce f(x) ale vůbec někdy nemusí být nulová. Vezmeme-li hustoty normálního rozdělení o nulové střední hodnotě a zvyšujeme rozptyly jako n.Bude f(x) rovna 1.Stejnoměrná konvergence zkrachuje pro x v nekonečnu,tam to jde k nule,zatimco f(x) je 1,a nebude to na R stejnoměrně konvergovat.
My vlastně zkoumáme největší absolutní hodnoty fn(x)-f(x) a ty s rostoucím n musí jít k nule.
Ale říkám si,jak se to projeví v tom počítačovém programu ,když to krachuje v nekonečnu??

MichalAld · 30. 11. 2018 12:10

↑ krakonoš:

1) Podle mě je mnohem zajímavější analyzovat, k čemu konverguje posloupnost hustot normálního rozdělení když se sigma blíží k nule...a přitom zůstává jednotková plocha.

krakonoš · 30. 11. 2018 14:10

↑ MichalAld:
No,tam to uz vubec nefunguje.f(x) je jednobodova,nespojita,a tak nemuze jit o stejnomernou konvergenci uz vubec.Zuzovanim zvonu se to cele zhrouti,si predstavuji ja.

MichalAld · 30. 11. 2018 14:57

Výsledkem toho "zhroucení" je Diracova distribuce (my laici tomu ale běžně říkáme i Diracova funkce, nebo Diracův impulz).

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2018 21:25

Stejnoměrná konvergence

#2 26. 11. 2018 21:37

Re: Stejnoměrná konvergence

#3 26. 11. 2018 21:47

Re: Stejnoměrná konvergence

#4 26. 11. 2018 22:00

Re: Stejnoměrná konvergence

#5 26. 11. 2018 22:05

Re: Stejnoměrná konvergence

#6 26. 11. 2018 22:48

Re: Stejnoměrná konvergence

#7 26. 11. 2018 22:53 — Editoval MichalAld (26. 11. 2018 22:54)

Re: Stejnoměrná konvergence

#8 26. 11. 2018 23:01

Re: Stejnoměrná konvergence

#9 26. 11. 2018 23:54

Re: Stejnoměrná konvergence

#10 27. 11. 2018 06:09

Re: Stejnoměrná konvergence

#11 29. 11. 2018 19:08

Re: Stejnoměrná konvergence

#12 29. 11. 2018 21:23

Re: Stejnoměrná konvergence

Pomeranc napsal(a):

#13 29. 11. 2018 23:25 — Editoval krakonoš (30. 11. 2018 01:45)

Re: Stejnoměrná konvergence

#14 30. 11. 2018 12:10

Re: Stejnoměrná konvergence

#15 30. 11. 2018 14:10

Re: Stejnoměrná konvergence

#16 30. 11. 2018 14:57

Re: Stejnoměrná konvergence

Zápatí