Matematické Fórum

Pluhtik · 30. 11. 2018 19:30

Zdravím, nevím si rady s jedním typem nekonečných řad (vyčíslením nekonečných řad). Jedná se o typ: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^n}$
Konkrétně například: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{6^n}$ nebo $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{7^n}$ .
Je mi jasné, že se jedná o $\lim_{n\to\infty}S_{n}$ . Mým problémem je, že nemohu přijít na to, jak dané $S_{n}$ najít. Pro $6^n$ ve jmenovateli například se později dostávám do dost hnusných čísel, a když se to snažím vyjádřit nějakými násobky apod. tak se mi nedaří najít žádné pravidlo, které by pro čitatel platilo.

laszky · 30. 11. 2018 20:15

↑ Pluhtik:

Ahoj,

Pokud $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{6}\left(\frac{x}{6}\right)^{n-1}$ , potom soucet tve prvni sumy je $f(1)$ .

Pokud si dale oznacis $F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{6}\right)^{n}$ , pak $F'(x)=f(x)$ .

Sumu $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{6}\right)^{n}$ dokazes pro $|x|<6$ secist na $F(x)=\frac{\frac{x}{6}}{1-\frac{x}{6}} = \frac{x}{6-x}$

Naslednym derivovanim $F(x)$ pak ziskas $f(x)=F'(x)=\frac{(6-x)-(-x)}{(6-x)^2}=\frac{6}{(6-x)^2}$ ,

a tedy $f(1)=\cdots$

Pavel · 30. 11. 2018 20:21 — Editoval Pavel (30. 11. 2018 20:21)

↑ Pluhtik:

Nechceš-li použít derivace, doporučuji provést tento obrat:

$S:&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{x^{n+1}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{x^{n+1}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}} =\frac 1x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{x^n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}}\\ &=\frac 1x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}} =\frac 1x\cdot S+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}}$

Geometrickou řadu určitě sečíst umíš a $S$ rovnice

$S=\frac 1x\cdot S+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}}$

vyjádřit umíš určitě taky.

Pluhtik

Ani jedno mi po pravdě nedává moc smysl. Derivace spíše používat nebudu, takže reaguji především na Pavla.
S jsi vyjádřil jako násobek sebe sama + součet nějaké jiné řady, jestli jsem to pochopil. Nechápu to a taky se mi to nezdá.
Respektive chápu každý jednotlivý krok, ale čím si pomůžu, když to takhle vyjádřím? Nenapadá mě totiž způsob, jak S pěkně vyjádřit.

$S = \frac{1}{x}.S + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}} / *x$
$S.x = S + x . \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}} / -S$
$S.(x-1) = x . \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}} / /(x-1)$
$S = \frac{x}{x-1} . \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}} = \frac{-1}{x} . \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}}$

To ale nedává smysl. Součet nekonečné řady kladných čísel přece nemůže být záporné číslo.

laszky · 30. 11. 2018 23:05

↑ Pluhtik:

Ahoj, tu geometrickou radu v tom Pavlove vyjadreni nejdriv secti ;-)

Pluhtik · 30. 11. 2018 23:12

Jak to myslíš? Pokud to sečtu, tak mi vyjde původní řada, ne?

laszky · 30. 11. 2018 23:17 — Editoval laszky (30. 11. 2018 23:18)

↑ Pluhtik:

Soucet geometricke rady s kvocientem $q$ (|q|<1) je $\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$ .

Takze soucet geometricke rady s kvocientem $\frac{1}{x}$ je $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n+1}}=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^n=\cdots$

Pluhtik

Ok, poradil bys mi s tím vyčíslením prosím?
Vychází mi, že:
$S_{0} = 1$
$S_{1} = \frac{7}{6}$
$S_{2} = \frac{43}{6^2}$
$S_{3} = \frac{259}{6^3}$
....

ale nedaří se mi najít $S_{n}$ (problém mám zejména s tím čitatelem)

edit. mám to vypočtené, jen si nemyslím, že mi takový výpočet v testu uzná, nejspíš bude chtít vyčíslit limitu. Proto potřebuji znát Sn

Pavel · 01. 12. 2018 00:05

↑ Pluhtik:

V celém mém výpočtu stačí nahradit v sumě $\infty$ konečným $N$ a provést tytéž úpravy:

$S_N:&=\sum_{n=1}^N\frac{n}{x^n} =\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n+1}{x^{n+1}} =\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n}{x^{n+1}}+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{x^{n+1}} =\frac 1x\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n}{x^n}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{x^n}\\ &=\frac 1x\sum_{n=1}^{N-1}\frac{n}{x^n}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{x^n} =\frac 1x\cdot S_N-\frac N{x^N}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{x^n}$

Pluhtik · 01. 12. 2018 20:11

Já to chápu. Myslel jsem to tak, že Sn by se mělo rovnat nějaké limitě, a pokud součástí této limity bude samotné Sn, pak to nedává smysl. Každopádně díky, došel jsem ke správnému výsledku.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2018 19:30

Nekonečná řada

#2 30. 11. 2018 20:15

Re: Nekonečná řada

#3 30. 11. 2018 20:21 — Editoval Pavel (30. 11. 2018 20:21)

Re: Nekonečná řada

#4 30. 11. 2018 22:53 — Editoval Pluhtik (30. 11. 2018 22:55)

Re: Nekonečná řada

#5 30. 11. 2018 23:05

Re: Nekonečná řada

#6 30. 11. 2018 23:12

Re: Nekonečná řada

#7 30. 11. 2018 23:17 — Editoval laszky (30. 11. 2018 23:18)

Re: Nekonečná řada

#8 30. 11. 2018 23:33 — Editoval Pluhtik (30. 11. 2018 23:43)

Re: Nekonečná řada

#9 01. 12. 2018 00:05

Re: Nekonečná řada

#10 01. 12. 2018 20:11

Re: Nekonečná řada

Zápatí