Matematické Fórum

Al1 · 09. 12. 2018 19:01 — Editoval Al1 (09. 12. 2018 20:01)

Dobrý den,

prosím o posunutí při hledání glob. extrémů fce $f(x,y,z)=\mathrm{e}^{x-z}$ na množině $M=\{[x,y,z]\in \mathbb{R}^{3}:x+y^2-z=0, x^2+y^2-16=0\}$
Uvnitř množiny M jsem nenašel žádné stacionární body.

Při použití Lagrangeových multiplikátorů - značím je a, b - jen pro rychlejší psaní
$L(x,y,z,a,b)=\mathrm{e}^{x-z}+a(x+y^2-z)+b( x^2+y^2-16=0)$

dostávám soustavu

$\mathrm{e}^{x-z}+a+2xb=0\nl 2y(a+b)=0\nl -\mathrm{e}^{x-z}-a=0\nl x+y^2-z=0\nl x^2+y^2=16$

Z druhé rovnice mám $y=0 \vee a=-b$ , sečtením první a třetí mám $x=0\vee b=0$

Takže dostanu
$x=0\wedge y=0\wedge z=\ln\left(\frac{-1}{a}\right)\wedge a<0\wedge b\neq0$
$x=0\wedge z=\ln\left(\frac{-1}{a}\right)\wedge a<0\wedge b=-a$
$y=0\wedge z=\ln\left(\frac{-1}{a}\right)+x\wedge a<0\wedge b=0$

Je to správně? A pokud ano, co dál?

Děkuji za odpověď.

Bati · 09. 12. 2018 20:02

↑ Al1:
Ahoj, pokud x=0, pak nutne y^2 = 16 = z, atd.. Pokud x != 0, pak myslim nic

Al1 · 09. 12. 2018 20:11

↑ Bati:

Díky, dostanu tedy body $[0,4,16], [0,-4,16]$ A lze i y=0, pak $[4,0,4], [4,0,-4]$ ? Všechny body mi vycházejí také při užití Jacobiho matice - to je podle zadání úlohy druhý způsob řešení, který mám také použít.

Je v těch bodech glob. extrém? WA hlásí, že nikoli.

Díky.

Bati · 09. 12. 2018 20:29

Pravda, body [4,0,4], [-4,0,-4] jsou taky podezrele. To budou lokalni maxima (s hodnotou 1), zatimco prvni dva body jsou lokalni minima.

Al1 · 09. 12. 2018 20:39

↑ Bati:

Stačí tedy určit funkční hodnotu v daných bodech a provést závěr: $[0,4,16], [0,-4,16]$ globalní minima s hodnotou $\mathrm{e}^{-16}$ a $[4,0,4], [4,0,-4]$ globalní maxima s hodnotou 1?

laszky · 09. 12. 2018 21:43 — Editoval laszky (09. 12. 2018 21:43)

↑ Al1:

Ahoj, i bez pouziti Lagrangeovych multiplikatoru je videt, ze na mnozine M je $f(x,y,z)=\mathrm{e}^{x-z}=\mathrm{e}^{-y^2}$ . Protoze $y\in[-4,4]$ , je $\min_M f =\mathrm{e}^{-16}$ a $\max_M f =\mathrm{e}^0=1$ ;-)

Al1 · 09. 12. 2018 21:57

↑ laszky:

Děkuji,

zadáno bylo ovšem použití výše zmíněných metod. A já jsem navíc v tomto oboru fcí více proměnných samouk, tak se mi to nespojuje tak, jak se mi většinou daří ve snazších tématech. :-)

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2018 19:01 — Editoval Al1 (09. 12. 2018 20:01)

Globální extrémy funkce tří proměnných

#2 09. 12. 2018 20:02

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných

#3 09. 12. 2018 20:11

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných

#4 09. 12. 2018 20:29

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných

#5 09. 12. 2018 20:39

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných

#6 09. 12. 2018 21:43 — Editoval laszky (09. 12. 2018 21:43)

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných

#7 09. 12. 2018 21:57

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných

Zápatí