Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 12. 2018 09:02

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

ratio of limits

If $a_{n}=\int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}}\tan^{-1}(nx)dx$ and $b_{n}=\int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}}\sin^{-1}(nx)dx.$ Then $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=$

Offline

 

#2 22. 12. 2018 12:07

Bati
Příspěvky: 2375
Reputace:   187 
 

Re: ratio of limits

Hi ↑ stuart clark:,
we can use a substitution to remove the n-dependence of the integrands and, with the fundamental theorem of calculus in mind, do some algebraic manipulation:

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{\int_0^{\frac1n}\tan^{-1}(nx)-\int_0^{\frac1n(1-\frac1{n+1})}\tan^{-1}(nx)}{\int_0^{\frac1n}\sin^{-1}(nx)-\int_0^{\frac1n(1-\frac1{n+1})}\sin^{-1}(nx)}\\
=\frac{\frac1n\int^1_{1-\frac1{n+1}}\tan^{-1}y}{\frac1n\int^1_{1-\frac1{n+1}}\sin^{-1}y}\\
=\frac{(n+1)\int^1_{1-\frac1{n+1}}\tan^{-1}y}{(n+1)\int^1_{1-\frac1{n+1}}\sin^{-1}y}$.
Since the integrands are left-continuous in 1, we can apply the fundamental theorem of calculus to obtain
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\tan^{-1}1}{\sin^{-1}1}=\frac12$.

Offline

 

#3 24. 12. 2018 06:29

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

Re: ratio of limits

Thanks ↑ Bati:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson