Matematické Fórum

Kotlopou · 26. 12. 2018 21:35

Dávám to sem, protože vůbec nevím, na jaké úrovni je ten problém.

Mějme dané čtyři body na ploše. Mezi dvojicemi existuje šest různých vzdáleností. Máme zadaných pět a hledáme tu šestou. Může existovat více řešení. Vypadá to např. takto:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-12/55829_megaproblem.png

Známe vše kromě x. Nemusí platit, že jeden z bodů je uvnitř trojúhelníka z ostatních tří.

Pokusil jsem se to řešit nejprve přes Heronův vzorec - obsah trojúhelníka ABC se rovná součtu obsahů trojúhelníků ADC, CDB, BDA - ale to ztroskotalo na spoustě různých případů podle toho, kde se nachází bod D vůči ostatním třem (pokud je mimo ABC, některé obsahy se odčítají). Navíc vznikaly dost hnusné rovnice - když se mi během řešení objevil člen rozměru metr na šestnáctou, nechal jsem toho - a nevznikl by jednotný vzorec.

Pak jsem zkusil analytický přístup s umístěním bodu B do souřadnic [0; 0] a bodu C do souřadnic [a; 0]. Podařilo se mi přijít na souřadnice bodu A, ale u bodu D vznikaly další hnusné rovnice.

Pravděpodobně by se analytický přístup dal dotáhnout do konce, ale zahrnuje to spoustu svalové práce (problém budu nejspíš řešit i pro pět bodů v prostoru, kde už je známých devět dvojic a hledáme desátou). Neexistuje nějaký jednodušší způsob?

vanok · 26. 12. 2018 22:48 — Editoval vanok (26. 12. 2018 22:48)

Pozdravujem ↑ Kotlopou:,
Tvoj problem je zaujimavy.
Ak chces napredovat pozri si na internete, co najdes o determinante Caley-Menger.

Kotlopou · 26. 12. 2018 23:25

↑ vanok:

Jestli jsem to dobře pochopil (což není vůbec jisté), jde o něco, co dokáže spočítat objem čtyřstěnu z délek hran (obecně pro n rozměrů). To bylo to, k čemu jsem se chtěl původně dostat, takže je to motání se v kruzích.

Stýv · 26. 12. 2018 23:31

Kotlopou napsal(a):
Pak jsem zkusil analytický přístup s umístěním bodu B do souřadnic [0; 0] a bodu C do souřadnic [a; 0]. Podařilo se mi přijít na souřadnice bodu A, ale u bodu D vznikaly další hnusné rovnice.

A nebylo by to lepší s body A a B?

Kotlopou · 27. 12. 2018 01:10

↑ Stýv:

Díky. Samozřejmě, že bylo. Takhle to vypadá o dost jednodušeji. Ukázkový příklad, jak může obrázek svést na scestí.

vanok · 27. 12. 2018 01:34 — Editoval vanok (27. 12. 2018 01:54)

poznamka.
Ak sa sustredis na stvorsten v priestore, je jasne, ze jeho objem je nulovy v specialnom pripade ked 4 body A,B,C ,D su v rovine. A to mozes vyuzit.
( mozes sa inspirovat, ako ja, tu http://mathafou.free.fr/themes_en/cayley.html )

No vsak mozes dokazat aj priamo ( v rovine), ze plati
$\begin{vmatrix} 0 & 1&1&1&1 \\ 1 & 0&d^2 &e^2&x^2\\ 1&d^2&0&c^2&b^2\\ 1&e^2&c^2&0&a^2\\ 1&x^2&b^2&a^2&0 \end{vmatrix} =0$
(co mozes dokazat vela sposobmi, napr. vdaka linearnej algebre).

vanok · 27. 12. 2018 04:31 — Editoval vanok (27. 12. 2018 11:25)

Naznacim ti este toto:

Stale podla tvojho obrazku ↑ Kotlopou:,
vektory $\vec {DA}, \vec {DB},\vec {DC}$ su linearne zavisle, tak ich Gram-ov determinant est nulovy. Tu mas jeho vlasnosti https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix . Ako vidis je typu 3x3.
Urcime vsetki jeho cleny
(Naznacim ako sa to robi)
$\vec {DA}|\vec {DA}=d^2$
$\vec {DB}|\vec {DB}=e^2$
$\vec {DC}|\vec {DC}= x^2$
$\vec {BC}=\vec {BD} +\vec{DC}$ , co da .... $a^2=e^2-2 \vec {DB}|\vec {DC} +x^2$ a tak $\vec {DB}|\vec {DC} =\frac {e^2+x^2-a^2}2$
Atd
Teraz mozme napisat Gram-ov determinant $0=...$ , co je ina forma odpovede, a pochopitelne aj ukazat, ze sa rovna
$\frac 18 .\begin{vmatrix} 0 & 1&1&1&1 \\ 1 & 0&d^2 &e^2&x^2\\ 1&d^2&0&c^2&b^2\\ 1&e^2&c^2&0&a^2\\ 1&x^2&b^2&a^2&0 \end{vmatrix}$ ( ti necham urobit samemu ak tomu neveris)
A tak mame ( dve metody) co nam daju odpoved na tvoju otazku.... no mozes sa zabavat s tym a nast aj ine. ( no vzdy over, ze ti to da ten isty vysledok).’’

vanok · 27. 12. 2018 10:44 — Editoval vanok (27. 12. 2018 11:23)

Pridam ti este detajli toho Gram-oveho determinantu
$\begin{vmatrix} \vec {DA}|\vec {DA} &\vec {DA}|\vec {DB} &\vec {DA}|\vec {DC}\\ \vec {DB}|\vec {DA} &\vec {DB}|\vec {DB} &\vec {DB}|\vec {DC}\\ \vec {DC}|\vec {DA} &\vec {DC}|\vec {DB} &\vec {DC}|\vec {DC} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} d^2 &\frac { d^2+e^2-c^2}2 &\frac {x^2+d^2-b^2}2\\ \frac {d^2+e^2-c^2}2 & e^2 &\frac {e^2+x^2-a^2}2 \\ \frac {x^2+d^2-b^2}2&\frac {e^2+x^2-a^2}2 &x^2 \end{vmatrix} =0$

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2018 21:35

Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

#2 26. 12. 2018 22:48 — Editoval vanok (26. 12. 2018 22:48)

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

#3 26. 12. 2018 23:25

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

#4 26. 12. 2018 23:31

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Kotlopou napsal(a):

#5 27. 12. 2018 01:10

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

#6 27. 12. 2018 01:34 — Editoval vanok (27. 12. 2018 01:54)

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

#7 27. 12. 2018 04:31 — Editoval vanok (27. 12. 2018 11:25)

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

#8 27. 12. 2018 10:44 — Editoval vanok (27. 12. 2018 11:23)

Re: Vzájemné vzdálenosti čtyř bodů

Zápatí