Matematické Fórum

Davisek · 27. 12. 2018 16:00

Zdravím, řeším jeden příklad s učebnice.

Máme prostor elementárních jevů $(\mathbb{N}, P)$ , ve kterém platí $P(k) = ar^k$ , kde $r = 1 - a$ .

Máme definovaný jev $A_k = \{n \in \mathbb{N} | n \geq k\}$ , představuje, že náhodně vybrané přirozené číslo je větší nebo rovno než $k$ .

Máme vypočítat $P(A_k)$ a $P(A_{k+j} | A_j)$ . Tyto pravděpodobnosti by se měli rovnat.

Předpokládám že 0 je přirozené číslo.
Potom $A_0 = \mathbb{N}$ , teda zcela jistě $P(A_0) = 1$ .
Pokračujeme, $A_1 = A_0 - \{0\}$ , vypočítáme že $P(0) = a$ , tedy $P(A_1) = P(A_0) - P(0) = 1 - a$ .
$A_2 = A_1 - \{1\}$ , $P(1) = ar$ , tedy $P(A_2) = P(A_1) - P(1) = P(A_0) - P(0) - P(1) = 1 - a - ar$ .
$.$
$.$
$.$
$A_k = A_{k-1} - \{k-1\}$ , $P(k-1) = ar^{k-1}$ , tedy $P(A_k) = P(A_{k-1}) - P(k-1) = 1 - a - ar - ar^2 - ... - ar^{k-2} - ar^{k-1} = 1 - (a + ar + ar^2 + ... + ar^{k-2} + ar^{k-1})$
Využijeme vzorec pro součet $k$ členů geometrické řady.
$P(A_k) = 1 - a \frac{1-r^{k-1}}{1-r}$

Předpokládám, že moje uváha je spranvá. Potom pro výpočítme podmínkovou pravděpodobnost
$P(A_{k+j} | A_j) = \frac{P(A_{k+j} \cap A_j)}{P(A_j)} = \frac{P(A_{k+j})}{P(A_j)}$ . Využil jsem vzorce, který jsem odvodil v předešlém kroku. Ale k dopracovani rovnosit $P(A_k) = P(A_{k+j} | A_j)$

Takže nevím jestli to jsem napsal je správně, pokud ano. Rozepiší ten konec. Děkuji

jarrro · 27. 12. 2018 17:59 — Editoval jarrro (27. 12. 2018 18:03)

$P{$A_k$}=1 - a \frac{1-r^{\color{red}k\color{black}}}{1-r}=$1-a$^{k}$

Davisek · 27. 12. 2018 18:36

↑ jarrro:

Děkuji, to vede k řešení.

Jen přemýšlím jak jsi na to přišel. Zkoušel jsem jít zpátky, ale rozepsaní pomocí binomicke věty jsem přišel, že se v posloupnosti střidají znaménka, ale to je vše.

jarrro · 27. 12. 2018 19:25 — Editoval jarrro (27. 12. 2018 19:26)

↑ Davisek:
$1-r=1-(1-a)=a\nl a\frac{b}{a}=b$

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2018 16:00

Diskretní pravděpodobnost - geometricke rozdělení

#2 27. 12. 2018 17:59 — Editoval jarrro (27. 12. 2018 18:03)

Re: Diskretní pravděpodobnost - geometricke rozdělení

#3 27. 12. 2018 18:36

Re: Diskretní pravděpodobnost - geometricke rozdělení

#4 27. 12. 2018 19:25 — Editoval jarrro (27. 12. 2018 19:26)

Re: Diskretní pravděpodobnost - geometricke rozdělení

Zápatí