Matematické Fórum

MartinF22 · 01. 01. 2019 13:58

Dobrý deň, našiel by sa prosím niekto ochotný, kto by mi aspoň na týchto príkladoch vysvetlil, ako sa skladajú permutácie? Preberali sme ďalej ešte aj symetrické grupy a potreboval by som aj kvôli tomu porozumieť tomuto skladaniu.

Ďakujem.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/47473_IMG_20190101_123937.jpg

Davisek

↑ MartinF22:

Představ si dvě permutace $\pi, \sigma$ . Tedy jejich kompozice je $\pi \circ \sigma$ , a to není nic jiného než další permutace.
Takže, ji počítáme standardním způsobem.

Pro nějaké $x$ , $\pi \circ \sigma (x) = \pi(\sigma(x))$ , protože permutace neni nic jiného než funkce.

Třeba první příklad,

$[(12)(34) \circ(13)(24)](1) = [(12)(34)](3) = 4$

Tedy piseme $(1,4, ...)$

Pokracujeme 4, kde stejným způsobem dojdem ke 1. Tedy mame cyklus a zadny prvek nepridame do $(1, 4)$ .

A takto zjistím i druhý cyklus $(2, 3)$

MartinF22 · 01. 01. 2019 21:56

↑ Davisek:
Dobrý deň, ďakujem za odpoveď.
Nejako mi nevychádza ten 4. príklad - mám rovnaký výsledok ako pri treťom, idem takto:
$1\rightarrow 3$ , $3\rightarrow 3$
$3\rightarrow 4$ , $4\rightarrow 5$
a za tou 3kou mi to nesedí.

Prosím Vás a je nejaký rozdiel v tom, či počítam skladanie zľava doprava alebo sprava doľava? Dostanem iný výsledok? Na cvičeniach sme začínali vždy počítať s najmenším číslom (to je jedno, či bolo na ľavej alebo pravej strane), hoci v skriptách bolo, že operácia skladania permutácií sa počíta zľava doprava.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/76133_IMG_20190101_201757.jpg

Ďakujem.

Davisek · 02. 01. 2019 00:21

↑ MartinF22:

Dobrý den,

taky mi výchazí stejný výsledek jako ve 3. Podle mě je špatný výsledek. Když zkusíme zkoušku a vypočítáme obě permutace pro $5$ tak, $L: 7$ a $R: 6$ , takze $L \neq P$ .

Já jsem zvyklý počítat permutace zprava do leva, dává to smysl, protože by to mělo fungovat jak funkce (a počítat to obráceně jsem nikdě neviděl) - ale to jen můj osobní názor.

Vztah mezi tím jestli budume skladat zprava do leva nebo obráceně a jakým prvkem začneme počítat permutace nemá spolu nic společné.

A obecně pokud by jsme začali skladat zleva do prava, tedy $(x) \pi \circ \sigma$ , tak si to muzu predstavit jako $\sigma \circ \pi (x)$ , a to se obecně nerovná $\pi \circ \sigma (x)$ .

jardofpr

ahojte

uvedený výsledok je správny aj pre 4.príklad, skúste spočítať znova

Davisek napsal(a):
↑ MartinF22:
Když zkusíme zkoušku a vypočítáme obě permutace pro $5$ tak, $L: 7$ a $R: 6$

toto nie je dobre, L=6 a R=6 pre 5

na poradí skladania záleží, dá sa na to pozerať ako na skladanie funckií, takže keď používate definíciu zľava doprava,
tak aj skladáme zľava doprava

Davisek · 02. 01. 2019 11:42

↑ jardofpr:

Dik, ja jsem myslel, ze se to vyhodnocuje zprava doleva. U prvnich dvou to vychazelo, 3. jsem nepocital a u 4 vychazi presne jak ve 3. (protoze muj predchozi prispevek).

↑ MartinF22:

Tu trojku pokud budes pocitat zprava doleva tak by jsi mel dostat vysledek 4.

MartinF22 · 02. 01. 2019 19:36

Dobrý deň,
áno, mali sme písané, že skladáme zľava doprava, ale takisto som mal poznačené, že by na začiatku vždy malo byť najmenšie číslo a podľa toho sme aj skladali (aj keď bolo najmenšie číslo vpravo) - tak teraz už neviem vôbec.
Keď som zložil tú 4ku zľava doprava, tak som získal $(2456)(78)\cdot (134)(258) = (213487)(56)$ - neviem, či to je správne

Davisek · 02. 01. 2019 20:00

↑ MartinF22:

To je prave to, ze muzes zacit jakym koliv prvekm, protoze jednotlive prvky muzes rotovat.

Napr., pro jeden cykl plati: $(123) = (312) = (231) = (123)$ . Kdyz si nad to napis jeden radek 1 az n, a kdyz zacnes rotovat tak rotujes to cele (spodni a vrchni radek) tak neni duvod pro by se to nemelo rovnat.

Tedy v tvem pripade muzes to posunout o jedna do leva a dostanes $(134872)(56)$ , ano je to spravne.

jardofpr · 02. 01. 2019 20:31

↑ MartinF22:

najmenšie číslo prvej permutácii alebo najmenšie číslo z definičného oboru permutácie?
inak nie je problém začať jednotkou ani vo štvrtom príklade, to že nie je v žiadnom cykle prvej zo skladaných permutácií
vraví len toľko že sa zobrazí na seba v tejto permutácii

inak je pravda že v rámci cyklu môžeš presúvať po jednom prvku z konca na začiatok a zo začiatku na koniec
a je to to isté ako píše kolega

MartinF22 · 02. 01. 2019 21:55

Aha tak. Nevedel som ani o tom otáčaní ani o tom, že sa prvok zobrazuje sám na seba, keď nie je v žiadnom cykle zapísaný. Nemal som bohužiaľ dostupných veľa zdrojov, dával som len dohromady z každého nejaký kus.

Prosím vás, keď mám príklad ako tento:

$a=(236)(57)$ a $b=(147)$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/62264_IMG_20190102_185852.jpg

Tak a.) bude $(1475)(236)$
b.) bude $(1574)(263)$
c.)netuším
d.) $(263)(75)\cdot (174)=(1754)(263)$
a e.) $(174)\cdot (263)(75)=(1574)(263)$ ?

Ďakujem.

jardofpr

↑ MartinF22:

a,b,d,e, sa mi zdajú ok

čo sa týka c.) tak napr. $(ab)^{-2} = (ab)^{-1}(ab)^{-1}$

MartinF22 · 03. 01. 2019 08:06

Aha tak, ďakujem.

Prosím Vás mohol by som sa ešte niečo spýtať k tej symetrickej grupe?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/99066_IMG_20190103_075827.jpg
Môžem v tomto príklade použiť asociatívnosť a skladať takto, je to dobre?

Ďakujem.

jardofpr · 03. 01. 2019 10:00

↑ MartinF22:

áno môžeš

rovnako dobre môžeš íst priamo zľava doprava, t.j. v prvom príklade

$i\to j \to k \to j$
$j \to i \to i \to i$
$k \to k \to j\to k$

ešte k tomu predtým keď sa jedná o zobrazenia niekedy sa označuje viacnásobné zloženie
zobrazenia mocninou, ale keď ide naozaj o zobrazenia tak treba dávať pozor
lebo v takom prípade je $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ ale ak $a\neq b$ tak $(ab)^{-1}\neq a^{-1}b^{-1}$
teda je to iné ako s čislami

MartinF22 · 03. 01. 2019 11:36

↑ jardofpr:

Prosím Vás, čo sa týka tej symetrickej grupy,mám ešte danú množinu $\{e,(12),(345),(354),(12)(345),(12)(354)\}$ a mám dokázať, že je to grupa vzhľadom na operáciu skladania permutácií. Keď chcem dokázať uzavretosť, tak musím pre každú dvojicu overiť, či zložením dostanem prvok z tejto množiny? K asociatívnosti stačí len to, že operácia skladania je asociatívna? A ešte by som potreboval nájsť neutrálny a inverzný prvok. Ten neutrálny by mohol byť $(1)(2)(3)(4)(5)$ ?

Ďakujem.

jardofpr · 03. 01. 2019 12:22

↑ MartinF22:

ako píšeš, aj čo sa týka uzavretosti aj asociatívnosti (skladanie zobrazení je asociatívne vo všeobecnosti)

čo sa týka neutrálneho prvku, verím že ten čo navrhuješ sa skrýva pod označením $e$ v tvojej základnej množine

MartinF22 · 03. 01. 2019 20:37

↑ jardofpr:
Aha. A kebyže mám vo všeobecnosti nájsť k permutácií identickú, tak napr. k $(12)(354)$ by to bola $(1)(2)(3)(5)(4)$ ? Našiel som niečo také v poznámkach, preto by som sa chcel spýtať, či je to pravda.

Ďakujem.

jardofpr

↑ MartinF22:

MartinF22 napsal(a):
↑ jardofpr:
Aha. A kebyže mám vo všeobecnosti nájsť k permutácií identickú, tak napr. k $(12)(354)$ by to bola $(1)(2)(3)(5)(4)$ ? Našiel som niečo také v poznámkach, preto by som sa chcel spýtať, či je to pravda.

Ďakujem.

Neviem čo myslíš tým "nájsť k permutácii identickú", (1)(2)(3)(4)(5) je identická permutácia,
netrálny prvok grupy vzhľadom na danú operáciu, je možné že máš niečo poznačené zle lebo tá formulácia nedáva veľmi zmysel

teda myslím formuláciu "nájsť identickú permutáciu k niektorej permutácii"

MartinF22 · 04. 01. 2019 08:21

↑ jardofpr:
Myslel som toto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/86439_IMG_20190104_081142.jpg

Ale už som asi pochopil, ako ste to mysleli.
Ďakujem Vám.

jardofpr

↑ MartinF22:

áno, toto vraví o tvare identickej permutácie, t.j. v tvojom príklade je to $(1)(2)(3)(4)(5)$

zároveň je to neutrálny prvok $e$ v tvojej množine

MartinF22 napsal(a):
...mám ešte danú množinu $\{e,(12),(345),(354),(12)(345),(12)(354)\}$ ...

identická sa myslí v zmysle identického zobrazenia, t.j. každý prvok zobrazí na seba,
asi je jasné že je to logická voľba pre neutrálny prvok pri operácii skladania

je to ale "identická permutácia", nie "identická permutácia k niektorej permutácii"

MartinF22 · 04. 01. 2019 18:18

↑ jardofpr:
Dobre, ďakujem Vám.
Snáď to už budem vedieť.

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2019 13:58

Skladanie permutácií

#2 01. 01. 2019 15:16 Příspěvek uživatele Davisek byl skryt uživatelem Davisek. Důvod: nechtene

#3 01. 01. 2019 15:18 — Editoval Davisek (01. 01. 2019 21:50)

Re: Skladanie permutácií

#4 01. 01. 2019 21:56

Re: Skladanie permutácií

#5 02. 01. 2019 00:21

Re: Skladanie permutácií

#6 02. 01. 2019 10:32 — Editoval jardofpr (02. 01. 2019 11:01)

Re: Skladanie permutácií

Davisek napsal(a):

#7 02. 01. 2019 11:42

Re: Skladanie permutácií

#8 02. 01. 2019 19:36

Re: Skladanie permutácií

#9 02. 01. 2019 20:00

Re: Skladanie permutácií

#10 02. 01. 2019 20:31

Re: Skladanie permutácií

#11 02. 01. 2019 21:55

Re: Skladanie permutácií

#12 02. 01. 2019 22:42 — Editoval jardofpr (02. 01. 2019 22:48)

Re: Skladanie permutácií

#13 03. 01. 2019 08:06

Re: Skladanie permutácií

#14 03. 01. 2019 10:00

Re: Skladanie permutácií

#15 03. 01. 2019 11:36

Re: Skladanie permutácií

#16 03. 01. 2019 12:22

Re: Skladanie permutácií

#17 03. 01. 2019 20:37

Re: Skladanie permutácií

#18 03. 01. 2019 23:09 — Editoval jardofpr (03. 01. 2019 23:10)

Re: Skladanie permutácií

MartinF22 napsal(a):

#19 04. 01. 2019 08:21

Re: Skladanie permutácií

#20 04. 01. 2019 17:06 — Editoval jardofpr (04. 01. 2019 17:06)

Re: Skladanie permutácií

MartinF22 napsal(a):

#21 04. 01. 2019 18:18

Re: Skladanie permutácií

Zápatí