Matematické Fórum

Tse · 19. 01. 2019 11:01

Dobrý den,

mám následující zadání:

Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci posloupnosti $\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ na množině $I= (0;\infty )$ , kde
$f_{n}(x)=\cos ^{2}(\frac{\pi }{x})$ na $\langle\frac{1}{n+1}; \frac{1}{n}\rangle$ a $f_{n}(x) = 0$ jinde na I.

V prvé řadě mě napadá, jestli v tom zadání někde nevypadlo n. Nebo lze posloupnost funkcí zadat i takto?

Pokud je to dobře, tak pak ale nevím, co s tím. Když dosadím za x to 1/n, resp. 1/(n+1), vždy vyjde nějaký násobek $\pi$ , což po dosazení do cosinu dá 1. Ale v intervalu $\langle\frac{1}{n+1}; \frac{1}{n}\rangle$ probíhají hodnoty cosinu celý interval od 0 do 1, takže limitu spočítat nemůžu. Nebo na to jdu úplně špatně?

Děkuji za pomoc

vlado_bb · 19. 01. 2019 11:12

↑ Tse: V zadani $n$ nevypadlo, ved tam je, v popise intervalu $\left [ \frac{1}{n+1}; \frac{1}{n}\right ]$ .

Pokial ide o samotne riesenie, treba si uvedomit, ze ak ma postupnost bodovu limitu, tak rovnomerna je bud to iste, alebo neexistuje. Skus teda v prvom kroku najst bodovu limitu a potom sa zamysliet nad tym, ci moze ist aj o limitu rovnomernu.

Tse · 19. 01. 2019 11:22

↑ vlado_bb: No ale tu limitu právě nějak nedokážu najít, to jsem psala v tom posledním odstavci. Mám v tom zmatek - myslela jsem si, že (jako u všech dosavadních příkladů) limitu najdu tak, že x zafixuji jako konstatu a najdu limitu pro n. A ono tam to n není, takže nějak nevím, co s tím mám dělat...

vlado_bb

↑ Tse: A ja zasa opakujem, ze to $n$ tam je ... Ak inak nejde, tak si vezmi napriklad $x=\frac 12 \left (\frac 14+\frac13\right )$ a napis sem hodnoty $f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x)$ a $f_5(x)$ . To by ti mohlo pomoct.

edit: S urcenim presnej hodnoty jednej z nich asi budes mat problemy - v takom pripade staci, ak napises ci je to nula alebo nie.

Tse · 19. 01. 2019 13:00

↑ vlado_bb: Ehm... cože? Vůbec nechápu, jak to myslíš. Takhle $f_{n}(x)= \cos ^{2}(\frac{\pi }{x})= \cos ^{2}(\frac{\pi }{\frac{1}{2}(\frac{1}{4}+\frac{1}{3})})=\cos ^{2}(\frac{24\pi }{7})$ asi ne, že?

vlado_bb · 19. 01. 2019 13:07

↑ Tse: Takto je to ale iba pre jedno $n$ . Pre ktore? Ved sa pozri, ako su tie funkcie zadane, pripaden si nakresli ich grafy.

Tse · 19. 01. 2019 13:18

↑ vlado_bb: Já nevím, asi jsem přeskočila nějakou důležitou kapitolu, ale já tam prostě vidím jen jednu funkci (resp. dvě, z toho jednu kosntantní) a nechápu, kde se tam bere jaká posloupnost.

vlado_bb · 19. 01. 2019 13:24

↑ Tse:Takze: $f_{1}(x)=\cos ^{2}(\frac{\pi }{x})$ na $\langle\frac{1}{2}; 1\rangle$ . Inak $f_{1}(x) = 0$ . Vies nakreslit? To je prva funkcia v postupnosti.

Tse · 19. 01. 2019 13:31

↑ vlado_bb: Ano, to zvládám. A další interval bude $\langle\frac{1}{3};\frac{1}{2}\rangle$ ? Takhle to je myšleno?

vlado_bb

↑ Tse: Ak $n=2$ , tak $\frac 1{n+1}=\frac 13$ a zaroven $\frac 1n=\frac 12$ , spravne.

A teda pre nasu vyssie uvedenu hodnotu $x$ - ake je $f_1(x)$ a $f_2(x)$ ?

Tse · 19. 01. 2019 13:55

↑ vlado_bb: Takže... pro všechny funkce s výjimkou $f_{3}(x)$ vyjde 0 (pro to naše x) a $f_{3}(x)=\cos ^{2}(\frac{24\pi }{7})$ ?

vlado_bb · 19. 01. 2019 14:07

↑ Tse: Ano. Dalej to uz, myslim, zvladnes.

Tse · 19. 01. 2019 14:27

↑ vlado_bb: Takže, intuitivně bych to viděla tak, že mi nulovou funkci vždycky někde přeruší ten oblouček, a to pro jakoukoli hodnotu n, proto to nemůže být stejnoměrně konvergentní.
A početně - ta limita je 0, posloupnost tedy bodově konverguje k $f(x)=0$ . Ovšem $sup |f(x) - f_{n}(x)|=sup \cos ^2(\frac{\pi }{x})=1$ , takže stejnoměrně konvergentní to není. Šlo by to takto?

vlado_bb · 19. 01. 2019 14:31

↑ Tse: Ano, nulova funkcia je bodova limita ale nie rovnomerna.

Tse · 19. 01. 2019 14:33

↑ vlado_bb: Ufff. Díky za rady a trpělivost :-)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2019 11:01

stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#2 19. 01. 2019 11:12

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#3 19. 01. 2019 11:22

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#4 19. 01. 2019 11:28 — Editoval vlado_bb (19. 01. 2019 11:38)

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#5 19. 01. 2019 13:00

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#6 19. 01. 2019 13:07

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#7 19. 01. 2019 13:18

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#8 19. 01. 2019 13:24

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#9 19. 01. 2019 13:31

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#10 19. 01. 2019 13:33 — Editoval vlado_bb (19. 01. 2019 13:36)

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#11 19. 01. 2019 13:55

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#12 19. 01. 2019 14:07

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#13 19. 01. 2019 14:27

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#14 19. 01. 2019 14:31

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#15 19. 01. 2019 14:33

Re: stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

Zápatí