Matematické Fórum

Flaky · 29. 01. 2019 15:28

Dobrý den,

jak bych ukázal, že vzorem každého ot. intervalu (a,b) při monotónním zobr. je borelovská množina?

jardofpr · 29. 01. 2019 18:02

ahoj ↑ Flaky:

ako môže vyzerať $f^{-1}((-\infty,y])$ pre monotónnu funkciu?

Flaky · 29. 01. 2019 18:11

mno vzor nějakého intervalu bude interval, pokud bude funkce spojitá a nebo to muzou být body, je-li fce nespojitá

jardofpr · 29. 01. 2019 18:21

↑ Flaky:

bavíme sa o monotónnej funkcii, spojitosť tu nie je relevantná

predstav že je $f$ neklesajúca .. ako môže tá množina vyzerať?

Flaky · 29. 01. 2019 19:02

Na interval $(-\infty ,y]$ se zobrazí všechny body $a,b:a<b$ takové, že $f(b)\le y$

jardofpr

Flaky napsal(a):
Na interval $(-\infty ,y]$ se zobrazí všechny body $a,b:a<b$ takové, že $f(b)\le y$

takto napísané mi veľmi nedáva zmysel ako to myslíš

tá množina pre neklesajúcu funkciu môže naberať len 4 tvary čo je jednoduché si rozmyslieť
každý z nich je borelovskou množinou a máš prakticky hotovo

otvorený interval nie je potom problém napísať pomocou množín typu $(-\infty,y]$

EDIT: asi myslíš $f^{-1}((-\infty,y]) = \{b\,\in\mathbb{R}\,:\,f(b)\leq y\}$ len si to zvláštne popísal/zapísal

Flaky · 21. 02. 2019 10:04

Ano, takto jsem to myslel, tedy $f^{-1}((-\infty,y]) = \{b\,\in\mathbb{R}\,:\,f(b)\leq y\}$ a tato množiná tedy nabývá pouze 4 tvarů?

jardofpr · 21. 02. 2019 10:45

↑ Flaky:

no môže to byť $\emptyset, (-\infty,x), (-\infty,x]$ alebo $(-\infty,\infty)$

vieš si rozmyslieť prečo?

Flaky · 21. 02. 2019 11:37

$\emptyset$ to pokud má funkce hodnoty mimo pás $(-\infty , y]$ a žádné takové $x$ , pro které by $f(x)\le y$ neexistuje

nebo to můžou být $(-\infty ,x)$ či $(-\infty ,x]$ , kde x je nejvetší takové, že $f(x)\le y$

nebo může funkce celá ležet v pásu a mít def. obor R

jardofpr

↑ Flaky:

áno, vďaka neklesajúcosti sa toto ľahko vyvodí
podobne sa dá spracovať vzor množiny typu $[y,\infty)$ , čo si určite ľahko rozmyslíš
t.j. vzory takýchto množín sú borelovské množiny pri neklesajúcej funkcii

vieme napísať otvorený interval pomocou množín uvedeného typu?

pozn. pre ďalší krok: pre funkcie platí $f^{-1}[A\cap B] = f^{-1}[A]\cap f^{-1}[ B]$ a $f^{-1}[A\cup B] = f^{-1}[A]\cup f^{-1}[ B]$
+ borelovské množiny v $\mathbb{R}$ tvoria $\sigma$ -algebru

Flaky · 21. 02. 2019 13:08 — Editoval Flaky (21. 02. 2019 13:15)

Ano, každý interval (a,b) lze dostat z množin $(-\infty,y]$ , $[y,\infty )$ za pomoci průniku a sjednocení.

jardofpr · 21. 02. 2019 13:42

↑ Flaky:

tak už máme všetko čo potrebujeme nie?

$f^{-1}((a,b)) = \dots$

Flaky · 21. 02. 2019 14:30 — Editoval Flaky (21. 02. 2019 14:42)

↑ jardofpr:

$f^{-1}((a,b))=f^{-1}((-\infty ,b)\bigcap_{}^{}(a,\infty ))=f^{-1}((-\infty ,b))\bigcap_{}^{}f^{-1}((a,\infty ))$ ,
akorat bych tam potřeboval dostat polouzavrene intervaly

jardofpr · 21. 02. 2019 15:54

↑ Flaky:

začal by som skôr s $(a,b)=(-\infty,a]^C\cap [b,\infty)^C$

máme aj $f^{-1}[A^C] = (f^{-1}[A])^C$

Flaky · 21. 02. 2019 16:23

Tak tedy,

$f^{-1}(a,b)=f^{-1}((-\infty ,a]^{C}\bigcap_{}^{}[b,\infty )^{C})^{}=f^{-1}((-\infty ,a]^{C})\bigcap_{}^{}f^{-1}([b,\infty )^{C})=[f^{-1}((-\infty ,a])]^{C}\bigcap_{}^{}[f^{-1}([b,\infty ))]^{C}$ , a tedy vnitřky závorek jsou borelovské množiny, tedy i jejich doplňky a poté i jejich průnik z vlastností $\sigma$ algebry.

jardofpr · 21. 02. 2019 16:36

↑ Flaky:

tak tak

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2019 15:28

Borelovská mn.

#2 29. 01. 2019 18:02

Re: Borelovská mn.

#3 29. 01. 2019 18:11

Re: Borelovská mn.

#4 29. 01. 2019 18:21

Re: Borelovská mn.

#5 29. 01. 2019 18:48 Příspěvek uživatele Flaky byl skryt uživatelem Flaky.

#6 29. 01. 2019 19:02

Re: Borelovská mn.

#7 29. 01. 2019 19:21 — Editoval jardofpr (30. 01. 2019 11:09)

Re: Borelovská mn.

Flaky napsal(a):

#8 21. 02. 2019 10:04

Re: Borelovská mn.

#9 21. 02. 2019 10:45

Re: Borelovská mn.

#10 21. 02. 2019 11:37

Re: Borelovská mn.

#11 21. 02. 2019 12:54 — Editoval jardofpr (21. 02. 2019 12:55)

Re: Borelovská mn.

#12 21. 02. 2019 13:08 — Editoval Flaky (21. 02. 2019 13:15)

Re: Borelovská mn.

#13 21. 02. 2019 13:42

Re: Borelovská mn.

#14 21. 02. 2019 14:30 — Editoval Flaky (21. 02. 2019 14:42)

Re: Borelovská mn.

#15 21. 02. 2019 15:54

Re: Borelovská mn.

#16 21. 02. 2019 16:23

Re: Borelovská mn.

#17 21. 02. 2019 16:36

Re: Borelovská mn.

Zápatí