Matematické Fórum

Jarek123 · 26. 01. 2019 21:30

Dobrý den, chtěl bych poprosit o radu.

Počítal jsem tento příklad:

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{-(4n +1)})^n$

A postupoval jsem následovně:

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{-(4n +1)})^n=$
$=\lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{1}{-(4n +1)})^{-(4n+1)})^{\frac{n}{-4n-1}}=$ $\lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{1}{-(4n +1)})^{-(4n+1)})^{\frac{\frac{n}{n}}{-\frac{4n}{n}-\frac{1}{n}}}=$ $\lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{1}{-(4n +1)})^{-(4n+1)})^{-\frac{1}{4}}=$
$e^{-\frac{1}{4}}=$

A pan profesor mi řekl, že vůbec netuším o co jde, tak bych potřeboval vědět, kde dělám chybu.

jardofpr · 26. 01. 2019 21:51

ahoj ↑ Jarek123:

ak máš pôvodný príklad zapísaný správne, tak to vyzerá že výraz pre ktorý počítaš limitu vôbec nezávisí od $x$

laszky · 26. 01. 2019 21:52 — Editoval laszky (26. 01. 2019 22:00)

↑ Jarek123:

Jelikoz je to limita pro $x\to\infty$ a $\left(1 + \frac{1}{-(4n +1)}\right)^n$ nezavisi na $x$ , jedna se o limitu z konstanty, tudiz
vysledek je $\left(1 + \frac{1}{-(4n +1)}\right)^n$ :D

Ale zrejme jde o preklep, v tom pripade je asi nejvetsi chybou, ze delas "limitu v limite". Najdenou tam nahradis $\frac{\frac{n}{n}}{-\frac{4n}{n}-\frac{1}{n}}$ minus jednou ctvrtinou.

Spravne by to melo byt napr. takto:

$\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{1}{-(4n +1)}\right)^n=\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{-1/4}{n +1/4}\right)^{n+1/4-1/4}\!\!\!=\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{-1/4}{n +1/4}\right)^{n+1/4}\left(1 + \frac{-1/4}{n +1/4}\right)^{-1/4}\!\!\!=$
$=\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{-1/4}{n +1/4}\right)^{n+1/4}\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{-1/4}{n +1/4}\right)^{-1/4}=\mathrm{e}^{-1/4}\;(1+0)^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}}$

Jarek123 · 26. 01. 2019 22:26

$kopírovat do textarea$ Ano opravdu s jedná o překlep ne o limitu konstanty :D
A děkuju za odpověď, postupu chápu, jen jsem byl prostě překvapený, že ten můj je špatně, na cvičení jsme npříklad dělali takovýhle příklad a ohle sám cvičící napsal jako správný postup, přitom se mi to zdá to samé, jako v mém případě:

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}= \lim_{n \to \infty} ((1+\frac{1}{-n})^{-n})^{\frac{n}{-n}}=e^{-1}$

Al1 · 26. 01. 2019 22:40

↑ Jarek123:
Zdravím,

ty tvrdíš, že $\frac{n}{-4n-1}=-\frac{1}{4}$ . I když použiješ úpravu $\frac{n}{-4n-1}=\frac{\frac{n}{n}}{-\frac{4n}{n}-\frac{1}{n}}$ , stejně dostaneš $\frac{\frac{n}{n}}{-\frac{4n}{n}-\frac{1}{n}}=\frac{1}{-4-\frac{1}{n}}$ , což ale není $-\frac{1}{4}$ , Kdybys tento složený zlomek převedl na jednoduchý, dostaneš opět $\frac{n}{-4n-1}$

Xadule · 26. 01. 2019 22:53

Ahoj, kdyby neměl Jarek123, tam napsaný ten předposlední řádek, bylo by to dobře?

Al1 · 26. 01. 2019 23:11

↑ Xadule:
Zdravím,

myslíš, zda $\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{1}{-(4n +1)}\right)^n=\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}$ ? Tak to by bylo dobře. Rozepsal to kolega ↑ laszky:

krakonoš

↑ laszky:
Ahoj.
Ozyvam se sice pozde,ale
podle meho nazoru postup studenta byl sice pocitan limitou v limite,coz nebylo zrovna uplne v souladu s vetou o slozene limite,nicmene vede k spravnemu vysledku.Je ekvivalentni postupu,kdy mocninu mel student radeji vyjadrit pomoci exponenciely a logaritmu a pocitat limitu exponentu,kde vyuzije,ze ln(1 plus x na okoli nuly) se chova jako x.Kdyz si porovnam jeho postup,jde vlastne prakticky o totez.Podle me to vyplyva z ekvivalentnosti tech dvou postupu.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2019 21:30

limita s výsledkem mocniny e

#2 26. 01. 2019 21:51

Re: limita s výsledkem mocniny e

#3 26. 01. 2019 21:52 — Editoval laszky (26. 01. 2019 22:00)

Re: limita s výsledkem mocniny e

#4 26. 01. 2019 22:26

Re: limita s výsledkem mocniny e

#5 26. 01. 2019 22:40

Re: limita s výsledkem mocniny e

#6 26. 01. 2019 22:53

Re: limita s výsledkem mocniny e

#7 26. 01. 2019 23:11

Re: limita s výsledkem mocniny e

#8 31. 01. 2019 02:06 — Editoval krakonoš (31. 01. 2019 02:17)

Re: limita s výsledkem mocniny e

Zápatí