Matematické Fórum

marostul · 04. 02. 2019 10:53

Dobrý deň. Chcem sa Vás opýtať na vzdialenosť pri visiacej reťazi. Mám 50 m stĺpy na ktorých visí reťaz ktorá ma dĺžku 80m. Od zeme bude visieť je vzdialená 20m. Aká je vzdialenosť stĺpov. Bola by táto vzdialenosť taká istá keby sme použili takú istú reťaz ale stĺpy by boli vysoké 40m a vzdialenosť od zeme 10m. neviem si pomôcť podľa grafov na internete.

Rumburak

↑ marostul:
Ahoj. Téma řetězovky patří do pokročilejších partií vysokoškolské matemetiky.
Vychází z podmínky, že řetěz zavěšený mezi dvěma sloupy zaujme takový
tvar, aby měl v lokálním zemském gravitačním poli co nejmenší potenciální energii
(z téhož důvodu padá k zemi těleso, které upustíme).
Při odvození vzorce pro tvar řetězovky se využívá integrálu a diferenciální rovnice.
Co o těchto metodách víš ?

Honzc · 04. 02. 2019 15:36

↑ marostul:
Podle mě máš to nějak přezadané.
Dobře máme zadanou výšku sloupu (50 m) a délku řetězu (80 m)
Pak zkusmo vypočítáme:(s=polovina délky řetězu)
Rovnice řetězovky $y=a\cdot cosh\frac{x}{a}$
$s=40=30 sinh\frac{x}{30}\Rightarrow \frac{x}{30}=argsinh\frac{40}{30}$
Zkusíme zpětně ověřit výšku sloupu
$v=30cosh(argsinh\frac{40}{30})=50$
Od země tedy bude řetěz v nejnižším místě 30 m.
Vzdálenost mezi sloupy
$d=2\cdot 30\cdot argsinh\frac{40}{30}\approx 65.917m$

marostul · 04. 02. 2019 16:26

ďakujem za vysvetlenie. nerozumiem výrazu arg

Ferdish

↑ marostul:
Ide o hyperbolometrickú funkciu s názvom argument hyperbolického sínusu. Je to inverzná funkcia k funkcii hyperbolický sínus.

Ale na väčšine SŠ tieto funkcie nie sú súčasťou učebných osnov, prípadne sa "spomenú medzi rečou". Väčšinou sa s nimi človek zoznámi až na VŠ..

marostul · 04. 02. 2019 21:54

chcel by som sa opýtať ešte odkiaľ sme zobrali parameter a. miesto x sme mohli dať polovicu reťaze 40?

marostul · 05. 02. 2019 10:01

ešte chcem doplniť otázku. celkom nerozumiem výpočtu stĺpca. za a sme dosadili polomer krivosti 50-20. keď som prepočítaval na exceli pre výpočet stĺpca 40 a vzdialenosť od zeme 10m tak mi to nevyšlo. polomer krivosti som mal rovnaký. do zlomku som dosadil 35/30. kde som urobil chybu?

Honzc · 05. 02. 2019 10:33 — Editoval Honzc (06. 02. 2019 09:47)

↑ marostul:
1.Parametr a se dá spočítat nějakou numerickou metodou (třeba Newtonovou)
2.To s je opravdu polovina délky řetězu.
Výpočet Newtonovou metodou:
$a_{k+1}=a_{k}-(a_{k}\cdot cosh(argsinh(40/a_{k}))-30-a_{k})/(cosh(argsinh(40/a_{k}))-\\a_{k}\cdot (sinh((argsinh(40/a_{k}))\cdot 1/\sqrt{40\cdot 40/(a_{k}\cdot a_{k})+1}\cdot 40/(a_{k}\cdot a_{k})-1)$

Když zvolíš na začátku $a_{0}=10$ tak po 4 krocích už dostaneš $a=\frac{35}{3}$
Dá se to udělat třeba v Excelu

marostul · 05. 02. 2019 11:13

tomu tak trochu nerozumiem. na začiatku mám ak+1 podľa toho by malo byť a0=ak+1. s toho mi vychádza, že ak je 9. 50 je veľkosť stĺpca? na začiatku potrebujem vedieť čo si môžem zvoliť za a0. ďakujem za odpovede

Honzc · 05. 02. 2019 12:57 — Editoval Honzc (05. 02. 2019 13:30)

↑ marostul:
1.Poloměr křivosti ve "vrcholu" řetězovky tj. pro x=0 je roven parametru a
2.Tak ještě jednou:
Máš sloup vysoký 40 m a chceš aby vrchol řetězovky byl 10 m na zemí. (a=10)
$y=a\cdot cosh\frac{x}{a}$
Máme $40=10\cdot cosh\frac{x}{10}\Rightarrow \frac{x}{10}=argcosh\frac{40}{10}$
Pak vzdálenost sloupů je $d=2x=20argcosh(4)\approx 41.269m$
Pokud bys chtěl vypočítat délku řetězu pak:
$l=2s=20sinh(argcosh(4))\approx 77.46m$
A to je vše.

3. K ak:
Ne na začátku si zvolíš a0 a pak pomocí toho vzorečku počítáš přesnější a1 a z toho a2,a3,... až se ti přestane další moc měnit.
Ten vzoreček je napsán pro výšku sloupu 50 a délku řetězu 80 (s=40m)

marostul · 05. 02. 2019 13:50

ďakujem za odpoveď. ja poznám dĺžku reťaze 80m, poznám výšku stĺpu 40m, najnižší bod reťaze od od zeme 10m ale nepoznám rozpätie stĺpov. myslel som si, že rozpätie stĺpov bude také isté ako keď budú vysoké 50m, dĺžka reťaze 80m a výška od zeme 20m

Honzc · 05. 02. 2019 15:09 — Editoval Honzc (05. 02. 2019 15:10)

↑ marostul:
Ty to pořád motáš.
Pro výšku sloupů 50m a délku řetězu 80m nebude vrchol 20m nad zemí, ale 30m. (máš to tam už 2x spočítané)
Pro výšku sloupů 40m a vrcholu 10m nad zemí jsem ti už také spočítal, že délka řetězu bude asi 77.5m a sloupy budou od sebe přibližně 41.3m.
Má-li to být řetězovka tak nemůžeš vyhovět všem třem požadavkům naráz. (výška sloupu, vrchol nad zemí a délka řetězu)
Samozřejmě, že můžeš vzít 80m řetěz, sloupy vysoké 40m a dát je od sebe tak daleko, aby vrchol křivky byl 10m nad zemí, ale ta křivka rozhodně nebude řeězovka.

marostul · 05. 02. 2019 20:30

ďakujem za upozornenie. ja som mal iba zadanie na výpočet vzdialenosti stĺpcov kde najmenšia výška od zeme je 20m a dĺžka reťaze 80m pri výške stĺpca 50m. fakticky sa mi jedná len o výpočet vzdialenosti previsu o výške 30m. teoreticky by nemalo záležať na výške stĺpca.

Honzc · 06. 02. 2019 09:43

↑ marostul:
Tak dobře,tady je výsledek pro "... výška od zeme je 20m a dĺžka reťaze 80m pri výške stĺpca 50m"
Opravil jsem výpočet a v příspěvku č.8
Pokud bys chtěl výšku sloupu 40m a vzd. nad zemí 10m, pak retězovka bude stejná jenom ve vzorci na konci místo +25/3 bude -5/3.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

marostul · 06. 02. 2019 10:13

Ďakujem ti Honzo veľmi si mi pomohol, akurát študujem hyperbolické funkcie

Honzc · 06. 02. 2019 17:07 — Editoval Honzc (06. 02. 2019 17:13)

↑ marostul:
Tak si to ještě zrekapitulujeme:
Máme dáno:
2l=délka řetězu
d=rozdíl mezi nejvyšším a nejnižším bodem řetězu (řetězovky) zavěšeného mezi dva sloupy
s=výška sloupu
Vypočítat máme:
p=posunutí řetězovky ve vertikálním směru
r=rozteč (vzdálenost) sloupů
rovnice řetězovky (křivky)
$y=a\cdot cosh\frac{x}{a}+p$ kde $a$ je parametr řetězovky (je to vzdálenost vrcholu od osy x a také poloměr křivosti ve vrcholu)
výpočet a (Newtonova metoda)
$a_{k+1}=a_{k}-\frac{\sqrt{l^{2}+a_{k}^{2}}-d-a_{k}}{\frac{a_{k}}{\sqrt{l^{2}+a_{k}^{2}}}-1}$
pro první odhad můžeme zvolit $a_{0}=1$
pak
$p=s-d-a$
$r=2\cdot a\cdot argsinh\frac{l}{a}$
interval pro x
$x\in \langle-a\cdot argsinh\frac{l}{a},a\cdot argsinh\frac{l}{a}\rangle$

marostul · 08. 02. 2019 15:04

Honzo veľmi pekne ti ďakujem, ak by som ťa mohol poprosť vzorec pre Newtonovú metódu napísať v zlomku, dávam to do excelu a nefunguje mi to asi som to zle zapísal pretože ten čo si dával do zlomku ten mi funguje. pre ten prvý prípad keď sa počítala a bol rovnaký vzorec, nie som si celkom istý. ešte raz veľmi pekne ti ďakujem

Honzc · 08. 02. 2019 18:07 — Editoval Honzc (09. 02. 2019 04:30)

↑ marostul:
např. do buňky A2 dáš počáteční odhad a0 (třeba 1)
do buněk B2 dáš třeba rozdíl mezi max a min hodnotami řetězovky. (pro náš případ 30)
C2 polovinu délkyřetězovky (40)
D2 výšku sloupu (50)
Pak do buňky A3 napíšeš následující vzorec
=A2-(ODMOCNINA(C2^2+A2^2)-B2-A2)/(A2/ODMOCNINA(C2^2+A2*A2)-1)
Aby se ti při kopírování ve vzorci pořád načítaly hodnoty v buňkách B2 a C2 musíš jim dát absolutní adresu (dolar před B,C i před 2-dělá se to při označené B2 (C2) funkční klávesou F4)
Buňku A3 označíš a natáhneš ji dolů (zkopíruješ) třeba až do A10 (v A10 by se už hodnota neměla měnit)
Tím jsi spočítal Newtonovou metodou hodnotu parametru a
Další vzorečky máš v příspěvku č.16

mák · 08. 02. 2019 19:35 — Editoval mák (08. 02. 2019 19:40)

Zdravím,
jenom doplním, pokud budeš chtít makro do Excelu (tato funkce vrátí parametr A s přesností lepší jak 8 desetinných míst):

Code:

Function AParametr(L As Double, D As Double, S As Double) As Double 
    Dim A As Double, B As Double, C As Double
    A = -1
    B = 1
    While Abs(A-B)>1e-8
        A = B
        C = Sqr((L/2)^2 + A^2)
        B =  A + C + C * D / (A - C)
    Wend 
    AParametr = B
End Function

L - Délka řetězu
D - Rozdíl mezi nejvyšším a nejnižším bodem řetězovky
S - Výška sloupu

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2019 10:53

Reťazovka

#2 04. 02. 2019 11:13 — Editoval Rumburak (04. 02. 2019 11:17)

Re: Reťazovka

#3 04. 02. 2019 15:36

Re: Reťazovka

#4 04. 02. 2019 16:26

Re: Reťazovka

#5 04. 02. 2019 16:40 — Editoval Ferdish (04. 02. 2019 16:41)

Re: Reťazovka

#6 04. 02. 2019 21:54

Re: Reťazovka

#7 05. 02. 2019 10:01

Re: Reťazovka

#8 05. 02. 2019 10:33 — Editoval Honzc (06. 02. 2019 09:47)

Re: Reťazovka

#9 05. 02. 2019 11:13

Re: Reťazovka

#10 05. 02. 2019 12:57 — Editoval Honzc (05. 02. 2019 13:30)

Re: Reťazovka

#11 05. 02. 2019 13:50

Re: Reťazovka

#12 05. 02. 2019 15:09 — Editoval Honzc (05. 02. 2019 15:10)

Re: Reťazovka

#13 05. 02. 2019 20:30

Re: Reťazovka

#14 06. 02. 2019 09:43

Re: Reťazovka

#15 06. 02. 2019 10:13

Re: Reťazovka

#16 06. 02. 2019 17:07 — Editoval Honzc (06. 02. 2019 17:13)

Re: Reťazovka

#17 08. 02. 2019 15:04

Re: Reťazovka

#18 08. 02. 2019 18:07 — Editoval Honzc (09. 02. 2019 04:30)

Re: Reťazovka

#19 08. 02. 2019 19:35 — Editoval mák (08. 02. 2019 19:40)

Re: Reťazovka

Code:

Zápatí