Matematické Fórum

CanisLupua · 04. 09. 2009 11:49

zdravim,

Dokažte, že tečna hyperboly o rovnici xy=1 tvoří s jejiími asymptotami trojúhelník, jehož obsah je konstantní, tj. obsah nezávisí na tom, ve kterém bodě se tečna grafu herboly dotýká.

... muzete me nekdo pls trochu popostrcit

jelena · 04. 09. 2009 11:58

↑ CanisLupua:

Zdravím,

tuto úlohu (obecně) jsem řešila zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=9597

Pomohlo?

CanisLupua · 04. 09. 2009 12:21

jo diky ... uz mam aspon jakous takous predstavu

Teerka · 09. 02. 2019 16:21

Zdravím všechny a prosím o radu.

Mám vyřešit úlohu pomocí derivace:
Dokažte, že tečna hyperboly o rovnici xy=1 tvoří s jejími asymptotami trojúhelník, jehož obsah je konstantní.

Pomocí limity funkce funkce jsem ukázala, že asymptoty hyperboly jsou x=0 a y=0.
Našla jsem směrnicový tvar tečny hyperboly v libovolném bodě $[\frac{1}{y_{0}},y_{0}]$ . Když se ale snažím najít průsečík tečny s asymptotami, vychází mi, že neexistují.
Tečna: $y=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}y_{0}}+y_{0}$
Kde dělám chybu?

Děkuji T.

laszky · 09. 02. 2019 16:48

↑ Teerka:

Ahoj, kdyz (podle tveho znaceni) dosadis $x_0=\frac{1}{y_0}$ do vztahu

$y-y_0 = y'(x_0) (x-x_0)$ ,

ziskas ( $y'(x)=-1/x^2$ )

$y-y_0 = -\frac{1}{(1/y_0)^2}\left(x-\frac{1}{y_0}\right) = y_0-xy_0^2$ .

Teerka · 09. 02. 2019 18:38

↑ laszky:

Skvěle, moc díky. Už mi to vyšlo, obsah trojúhelníku je 2 a nezávisí na bodu dotyku, kterým je tečna vedená!

Děkuji a hezký večer :-)
T.

Matematické Fórum

#1 04. 09. 2009 11:49

tečna hyperboly

#2 04. 09. 2009 11:58

Re: tečna hyperboly

#3 04. 09. 2009 12:21

Re: tečna hyperboly

#4 09. 02. 2019 16:21

Re: tečna hyperboly

#5 09. 02. 2019 16:48

Re: tečna hyperboly

#6 09. 02. 2019 18:38

Re: tečna hyperboly

Zápatí