Matematické Fórum

Varagner · 07. 04. 2019 21:46

Dobrý den, mám zadaný úkol:
Vysvětlete základní rozdíl mezi výrazy $(\sqrt{4})_{R}$ , $(\sqrt{4})_{C}$ .
A nevím si rady. Ze samotných definic odmocnin v daných množinách jsem to bohužel neodvodil, předem děkuji za jakoukoli pomoc.

vlado_bb · 07. 04. 2019 21:49

↑ Varagner: To je dost prekvapujuce, pretoze to vyplyva prave z tych definicii. Mozno by bolo dobre, keby si ich sem obidve napisal, potom sa mozeme posunut dalej.

Varagner · 08. 04. 2019 12:58

↑ vlado_bb:
Tedy nepochopil jsem to z definice odmocniny v C. Z definice odmocniny v R vyplývá, že přestože platí například 2∙2=4 a současně také (-2)∙(-2)=4, druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto √4=2

Varagner · 08. 04. 2019 13:08

↑ Varagner: //forum.matweb.cz/upload3/img/2019-04/21675_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png
zde zasílám definici odmocniny v C

Rumburak

↑ Varagner:
Ahoj.

Mezi oběma pojetími (odmocnina v reálnem oboru vs. odmocnina v komplexním oboru)
je určitý rozdíl daný historicky:

1. Reálná n-tá odmocnina z reálného čísla $c$ (kde $n$ je přirozené číslo různé od nuly)
je definována

a) pro $n$ liché jako reálný kořen rovnice $x^n = c$ , který existuje právě jeden, například

$\sqrt[3]{8} = 2$ , $\sqrt[3]{-8} = -2$ ,

b) pro $n$ sudé jako nezáporný kořen rovnice $x^n = c$ , například

$\sqrt[2]{9} = 3$ , $\sqrt[2]{-9}$ neexistuje.

2. Za komplexní n-tou odmocninu z komplexního (speciálně i reálného) čísla $c$ (kde $n$ je opět
přirozené číslo různé od nuly) považujeme libovolný komplexní kořen rovnice $x^n = c$ .
Tato rovnice má pro $c \neq 0$ právě $n$ různých komplexních kořenů, jak plyne z věty pana de Moivre.
Např. rovnice $x^2 = -9$ má dva kořeny : $3\text{i}$ , $-3\text{i}$ , které nazýváme druhými odmocninami
z čísla -9.
Problém je zde se značením pomocí "odmocnítka" $\sqrt[n]{}$ , které pak není jednoznačné a proto je
potřeba se mu vyhnout nebo ho doplnit indexem, např. $\sqrt[n]{}_k$ , kde $k = 0, ... , n-1$ .