Matematické Fórum

Pluhtik

Zdravím,
potřeboval bych pomoci s řešením dvou příkladů, které byly na zkoušce a já nechápu, jakým způsobem by se měly řešit.

Prvním je limita:
$\lim_{x \to\infty } (\text{tg}(x+\frac{\pi }{4}))^{cotg(2x)}$

Podle mého mínění se limita toho tg blíží k 1 a cotg(2x) by se mělo blížit k nekonečnu. Potom jedna na nekonečno by pořád mělo být 1. Ale správný výsledek má být e.

Druhým je pak určitý integrál
$\int\limits_{-2}^3x^{2} sgn(x)$

To jsem rozdělil na dva určité integrály (od -2 do 0 a od 0 do 3) a ty jsem pak zvlášť vypočítal (dvakrát jsem použil metodu per partes, čímž jsem dostal absolutní hodnotu X (místo sgn(x)). Konkrétně přesně takto:
$\int\limits_{-2}^0x^{2} sgn(x) dx + \int\limits_{0}^3x^{2} sgn(x) dx =$

$[x^{2} * |x|]_{-2}^{0} - 2 * \int\limits_{-2}^0x * |x|dx + [x^{2} * |x|]_{0}^{3} - 2 * \int\limits_{0}^3x * |x|dx =$

$[x^{2} * |x|]_{-2}^{0} + [4x]_{-2}^{0} + [x^{2} * |x|]_{0}^{3} - [4x]_{0}^{3} = -8 - 8 + 27 - 12 = -3$

Skutečný výsledek by ale měl být $\frac{19}{3}$ .

byk7 · 09. 06. 2019 18:55 — Editoval byk7 (09. 06. 2019 19:22)

Ahoj, pro příště prosím každý příklad do jednoho tématu, zvlášť, když tyto dva příklady příliš nesouvisí.

Pluhtik napsal(a):
Podle mého mínění se limita toho tg blíží k 1 a cotg(2x) by se mělo blížit k nekonečnu.

To není pravda. Limita v nekonečnu ani jedné z funkcí neexistuje

Pluhtik napsal(a):
Druhým je pak určitý integrál
$\int\limits_{-2}^3x^{2} sgn(x)$

Ten výpočet je nějaký zmatený (aspoň já se v tom nedokážu zorientovat). Nerozumím tomu, proč ten integrál rozděluješ, když pak stejně používáš stejné per partes na oba.

Na druhou stranu, rozdělení je dobrá myšlenka, protože $\text{sgn}(x)=-1$ pro $x<-1$ a $\text{sgn}(x)=1$ pro $x>1$ , takže
$\int\limits_{-2}^3x^{2}\,\text{sgn}(x)\,\d x=\int\limits_{-2}^0x^{2}\,\text{sgn}(x)\,\d x+\int\limits_{0}^3x^{2}\,\text{sgn}(x)\,\d x=\int\limits_{-2}^0x^{2}\cdot(-1)\,\d x+\int\limits_{0}^3x^{2}\cdot1\,\d x=\int\limits_{0}^3x^{2}\,\d x-\int\limits_{-2}^0x^{2}\,\d x=\cdots$

Pluhtik

Děkuji a můžeš mi tedy prosím vysvětlit, jak je to s tou limitou?

Jen ještě dotaz - ty s tím sgn(x) pracuješ, jako by to byla konstanta. Copak to můžeš rovnou vyhodnotit, na 1 (nebo -1) a pak to integrovat?

Mfan · 14. 06. 2019 16:34

↑ Pluhtik:
Zdravím,

v té limitě jste se asi "upsal", možná mělo být $\lim_{x\to 0}$ .. a odpovídá tomu i Vaše úvaha pod zadáním. Našel jsem tento příklad v pdf na is.muni.cz:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/22601_Limita.png

Pozn.: Jde o cvičení na L'Hospitalovo pravidlo.

Mfan · 14. 06. 2019 17:05

↑ Pluhtik:
Taky se v řešení "upsali" na konci předposledního a na začátku posledního řádku. Má tam být ln (tg (..)) :)

krakonoš · 14. 06. 2019 17:56

↑ Mfan:
Ahoj
Také by šlo postupovat následovně
$\lim_{x\to0}cotg(2x)\cdot ln(tg(\frac{\pi }{4}+x))=$ $\lim_{x\to0}cotg(2x)\cdot ln(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx})^{\frac{2}{2}}=$ $\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot \frac{cos2x}{sin2x}\cdot ln(1+\frac{2\cdot sin2x}{1-sin2x})=$ $\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot \frac{cos2x}{sin2x}\cdot \frac{2sin2x}{1-sin2x}=1$
Takže zadaná limita bude $e^{1}=e$

krakonoš · 14. 06. 2019 19:02

↑ Mfan:
A co se týče L´Hospitalova pravidla, autoři učebnice ho zbytečně aplikují i na funkci cos2x.
Stačilo by spočíst $\lim_{x\to0}\frac{ln( tg(\frac{\pi }{4}+x))}{sin2x}$ .

Mfan · 14. 06. 2019 21:56

↑ krakonoš:
Ahoj,
dobrý postřeh, cos 0 = 1 a pak to bude jednodušší.
Jen zaboha nemůžu přijít na to, kde se vzala ta dvojka ve výrazu za druhým rovnítkem v tom logaritmu:
$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot \frac{cos2x}{sin2x}\cdot ln(1+\frac{\textbf {2}\cdot sin2x}{1-sin2x})$
Snažil jsem se ji zvýraznit, je to ta 2.sin 2x. Mně tam vyšlo jen jednou sin 2x , ale to mám zřejmě špatně.

krakonoš · 14. 06. 2019 22:06

↑ Mfan:
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) umocnime nadruhou cely tento zlomek
a dostaneme (1+sin2x)/(1-sin2x)=(1-sin2x+sin2x+sin2x)/(1-sin2x)

Mfan · 14. 06. 2019 22:13

↑ krakonoš:
Nojo, výpadek procesoru!
Dík.

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2019 18:21 — Editoval Pluhtik (09. 06. 2019 18:22)

Limita a integrál (dva příklady)

#2 09. 06. 2019 18:55 — Editoval byk7 (09. 06. 2019 19:22)

Re: Limita a integrál (dva příklady)

Pluhtik napsal(a):

Pluhtik napsal(a):

#3 10. 06. 2019 10:53 — Editoval Pluhtik (10. 06. 2019 11:01)

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#4 14. 06. 2019 16:34

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#5 14. 06. 2019 17:05

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#6 14. 06. 2019 17:56

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#7 14. 06. 2019 19:02

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#8 14. 06. 2019 21:56

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#9 14. 06. 2019 22:06

Re: Limita a integrál (dva příklady)

#10 14. 06. 2019 22:13

Re: Limita a integrál (dva příklady)

Zápatí