Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#401 12. 07. 2019 14:10

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vanok:
ale posloupnost aritmetickych prumeru z $\{\sqrt[n]n\}_{n=1}^{\infty}$ je $\{\frac{1+\sqrt2+\sqrt[3]3+\ldots+\sqrt[n]n}{n}\}_{n=1}^{\infty}$

Offline

 

#402 12. 07. 2019 16:03

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ Bati:,
Presne to iste som ti napisal. 
A pytany vysledok je lahko z toho dedukovat.  ( ak je to ti co ta trapi), lebo $\frac 1n$ konverguje k nule.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#403 12. 07. 2019 16:06

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Jak to mam z toho dedukovat?

Offline

 

#404 12. 07. 2019 16:22 — Editoval vanok (12. 07. 2019 16:23)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Co tu pisem je ti jasne?

Tak vidis preco $\lim_{ n \to  \infty  }  \frac{1+ \sqrt{n} +  \sqrt[3]{n} +...+  \sqrt[n]{n}  }{n} =1$.
A tiez, ze $\lim_{n\to \infty}\frac 1n=0$.

A tak vyuzi, vetu o rozdiele limit.   

(Poznamka : nepouzivam nic ine ako Cauchy v 1821....)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#405 12. 07. 2019 16:29

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

Offline

 

#406 12. 07. 2019 16:54 — Editoval vanok (12. 07. 2019 17:14)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

↑ Bati:,
Dakujem za upozornenie.   
Som nepozorne cital ( a kopiroval ) text cvicenia. 
I ked zatial som dokazal, ze $\lim_{ n \to  \infty  }  \frac{1+ \sqrt{2} +  \sqrt[3]{3} +...+  \sqrt[n]{n}  }{n} =1$ to nedava odpoved na danu otazku. 
( upravim moju odpoved, aby tam neostali nepresnosti)

A tak ostava stale hladat dokaz daneho tvrdenia, cize $\lim_{ n \to  \infty  }  \frac{1+ \sqrt{n} +  \sqrt[3]{n} +...+  \sqrt[n]{n}  }{n} =1$.
(Ako potvrdil kolega↑↑ kerajs:  v prispevku #397 ).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#407 12. 07. 2019 23:27

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vanok:↑↑ Marian:↑↑ kerajs:
Panove, zatim jste nenapsali nic co by me aspon trochu presvedcilo, ze ta limita je 1, takze jsem si to musel spocitat sam. Nejprve nejake odhady:

Pro $x\in(0,\frac14)$, $k\geq2$ a $p\in(0,1)$ plati $\frac{(k-1-p)(k-2-p)\ldots(1-p)p}{k!}x^k\leq\frac{p}{2^k}x$.
Dukaz:



Pouzitim odhadu v binomickem rozvoji dostanu
$(1-x)^p=1-px-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(k-1-p)\ldots(1-p)p}{k!}x^k\geq1-\frac32px$, $x\in(0,\frac14)$

To ted pouziju pro $x=\frac1n$ (BUNO $n>4$) a $p=\frac 1i$:
$\sum_{i=2}^{n-1}(n^{\frac1i}-(n-1)^{\frac1i})=\sum_{i=2}^{n-1}n^{\frac1i}(1-(1-\frac1n)^{\frac1i})
\leq\sum_{i=2}^{n-1}n^{\frac12}\frac3{2in}
\leq\frac32n^{-\frac12}(\ln(n-1)+1)$,
kde jsem taky pouzil odhad castecneho souctu harmonicke rady. Takze, oznacim-li $a_n=\sum_{i=2}^n\sqrt[i]n$, pak
$1\leq a_n-a_{n-1}=\sqrt[n]n+\sum_{i=2}^{n-1}(n^{\frac1i}-(n-1)^{\frac1i})\leq\sqrt[n]n+\frac32n^{-\frac12}(\ln(n-1)+1)$. Z toho vidime, ze $\lim_{n\to\infty}(a_n-a_{n-1})=1$. A protoze $\lim_{n\to\infty}(n-(n-1))=1$, podle Stolzovy vety dostavame ze $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}n=1$, coz jsme chteli dokazat.

Offline

 

#408 13. 07. 2019 00:21 — Editoval laszky (13. 07. 2019 00:22) Příspěvek uživatele laszky byl skryt uživatelem laszky. Důvod: Byla to holt pekna blbost.

#409 13. 07. 2019 03:13

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ laszky:,
Geometricky priemer je mensi ako aritmeticky.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#410 13. 07. 2019 03:16

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Nj, ja si rikal, ze mi tam neco nesedi :-)

Offline

 

#411 15. 07. 2019 19:04

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

(85)

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{k!n^k}$

Offline

 

#412 15. 07. 2019 20:02 — Editoval kerajs (15. 07. 2019 21:11)

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

Offline

 

#413 20. 07. 2019 21:53

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Problem (86)

Vysetrite dve postupnosti $(x_i)_{i \in \Bbb N}$ a $(y_i)_{i \in \Bbb N}$ak $x_0=y_0=0$ a $ \forall x \in \Bbb N, x_{i +1}=\sqrt {7-y_i}, y_{i +1}=\sqrt {7 +x_i}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#414 21. 07. 2019 07:08 — Editoval kerajs (21. 07. 2019 07:17)

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

$x_1= \sqrt{7} \wedge y_1= \sqrt{7}\\  
x_2= \sqrt{7- \sqrt{7} }  \wedge  y_2= \sqrt{7+ \sqrt{7} }\\  
x_3= \sqrt{7- \sqrt{7+\sqrt{7}} } \wedge  y_3= \sqrt{7+ \sqrt{7-\sqrt{7}} }\\  
x_4= \sqrt{7- \sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}} } \wedge   y_4= \sqrt{7+ \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}} }\\  
 \\
\\
x_n=\underbrace{\sqrt{7- \sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7- \sqrt{7+...} }}}} } }_{n}\\
 \lim_{n \to  \infty }x_n =a \Rightarrow  a=\sqrt{7- \sqrt{7+a} } \\
a^4-14a^2-a+42=0     \wedge   0 \le a \le  \sqrt{7} \\
(a-2)(a+3)(a-( \frac{1- \sqrt{29} }{2} ))(a-( \frac{1+ \sqrt{29} }{2} ))=0    \wedge   0 \le a \le  \sqrt{7} \\
 \lim_{n \to  \infty }x_n =2\\
\\
\\
\\
y_n=\underbrace{ \sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7- \sqrt{7+\sqrt{7-....}} }}}}  }_{n}\\
 \lim_{n \to  \infty }y_n =b \Rightarrow  b=\sqrt{7+ \sqrt{7-b} } \\
b^4-14b^2+b+42=0    \wedge    b  \ge   \sqrt{7} \\
(b+2)(b-3)(b-( \frac{-1- \sqrt{29} }{2} ))(b-( \frac{-1+ \sqrt{29} }{2} ))=0    \wedge   b \ge  \sqrt{7} \\
 \lim_{n \to  \infty }y_n =3$

Offline

 

#415 21. 07. 2019 10:38

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

↑ kerajs:
Jak vis, ze $\lim_{n\to\infty}x_n=a$? Tj. ze existuje a neni nekonecno?

Offline

 

#416 21. 07. 2019 11:15 — Editoval vanok (21. 07. 2019 11:44)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Bati:,
To mas pravdu, ze najprv je dobre ukazat ( napr.), ze pre kazde $i \in \Bbb N$ , $x_i$, $ y_i$ existuju a su v intervale $[0;7]$
Potom ukazat, ze ak obidve postupnosti maju limity $a$, $b$ tak ukazat, ze musi platit
$a=\sqrt {7-b}$
$b=\sqrt {7+a}$, a potom vyriesit tento system. 
A nakoniec  doriesit problem ...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#417 21. 07. 2019 12:01 — Editoval krakonoš (21. 07. 2019 12:24)

krakonoš
Příspěvky: 1128
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Mně ale vychází,že posloupnost xi je po dvou členech klesající ,pak po dvou opět rostouci,opět klesající po dvou....- jako za sebou zařazenáWWW...
Ukazuje to i indukce,když si vyjádříš podíl  xiplus1/xi.Je otázka,zda dochází vůbec k "přibližování"  k limitě -"snižování zubů"


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#418 21. 07. 2019 13:04 — Editoval vanok (22. 07. 2019 14:02)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,

To pises zaujimave pozorovanie.   A iste, by si nasla tvojou cestou tiez


Tu ti napisem,  podobnu cestu  k tomu rieseniu, ale rozdolenu na tri etapy.  (Naznacenu uz v #416)

Tam ta prva etapa ukaze len, ze  tie postupnosti su ohranicene.  ( a ze ak existuju su konecne).

Druha ukaze ( po rieseni uvedeneho systemu), ze ak tie limity existuju, tak su 2 a 3. 
( to vlasne je dokaz v #414, i ked sa to da rychlejsie urobit).
To vsetko ale este nestaci na dokaz tych limit. 

To ukaze, dalsie vysetrovanie danych postupnosti. 
(Je napr. je mozne urobit vdaka studiu postupnosti $(x_i-2)$ a $(y_i-3)$ )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#419 21. 07. 2019 16:29

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

Bati napsal(a):

Jak vis, ze $\lim_{n\to\infty}x_n=a$? Tj. ze existuje a neni nekonecno?

Ne vim.
Předpokládám,  že limita existuje, a řešení  rovnice $a=\sqrt {7-\sqrt {7+a}}$ v R (nebo rovnica nema riesenie w R) to potvrdí (popře).



vanok napsal(a):

$a=\sqrt {7-b}$
$b=\sqrt {7+a}$, a potom vyriesit tento system.

↑ kerajs::
$a=\sqrt {7-\sqrt {7+a}}\\
b=\sqrt {7+\sqrt {7-b}}\\
....\\
....\\
a=2\\
b=3$

Offline

 

#420 21. 07. 2019 18:44

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ kerajs:,
Ano za predpokladu ze limity a, b existuju to si uz v #414 dokazal, ze potom a=2 a b=3, i ked sa to da rychlejsie dokazat ( a lepsie napisat). 
No treba este dokazat ako som to vyssie napisal, ze ide o limity definovanych postupnosti v ↑ vanok:.

Dobre pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#421 21. 07. 2019 21:50 — Editoval vanok (25. 07. 2019 00:32)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Riesenie podla ↑ vanok:.
Prvy bod to iste kazdy vie urobit. 

Druhy bod. 
$a=\sqrt {7-b}$
$b=\sqrt {7+a}$ v pre a, b v [0;7]

Nam da
$a^2=7-b$
$b^2=7+a$

Co sa  da ekvivalentne napisat
$b^2-a^2=a+b$  (tato rovnica da $(a+b)(b-a-1)=0$)
$b^2=7+a$
co ( po malych uvahach) da system

$b-a=1$
$a^2+a-6=0$

A preto $a=2;b=3$

Treti bod. 
( vysetrime postupnosti $(x_i-2)$ a $(y_i-3)$ )
Zaciatok dokazu:
Hned vidime, ze
$x_{i+1}^2-4=3-y_i$ a tiez $y_{i+1}^2-9=x_i-2$
Co da
$x_{i+1}-2=\frac {3-y_i}{x_{i+1}+2}$ ako aj $y_{i+1}-3=\frac {x_i-2}{y_{i+1}+3}$
a preto
$|x_{i+1}-2| \le \frac 12 |y_i-3|$ ako aj $|y_{i+1}-3|\le \frac 13 |x_i-2|$
To nam da
$|x_{i+2}-2| \le \frac 16|xi-2|$
A tak mame
$|x_{2i}-2| \le \frac 1{6^i}|x_0-2|$ a tiez $|x_{2i+1}-2| \le \frac 1{6^i}|x_1-2|$
Co da $\lim_{i \to \infty} x_{2i}=2$ a $\lim_{i \to \infty} x_{2i+1}=2$ a tak....
....dokazete to ukoncit?



Kontrola


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#422 30. 07. 2019 21:28

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Problem (87).

Vysetrite konvergenciu realnej postupnosti $(u_i)_{i\in \Bbb N}$ takej, ze $u_0\ge 0;u_1\ge0$ a $\forall n\in \Bbb N, u_{i+2}=\sqrt {u_{i+1}}+\sqrt {u_i}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#423 31. 07. 2019 00:24

check_drummer
Příspěvky: 3878
Reputace:   91 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj, hodně neformálně (možná i špatně):


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#424 31. 07. 2019 09:20 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#425 31. 07. 2019 14:28 — Editoval krakonoš (31. 07. 2019 20:43)

krakonoš
Příspěvky: 1128
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:↑ check_drummer:
Ahoj.
Mně příjde,že o růstu či klesání posloupnosti rozhodnou už členy u4-u3, protože$u_{i+2}-u_{i+1}=(\sqrt{u_{i+1}}-\sqrt{u_{i}})+(\sqrt{u_{i}}-\sqrt{u_{i-1}})$, pokud tedy uvažujeme indukcí.
Pokud je posloupnost klesající, je zdola omezená svou nezáporností, limita tedy existuje. Protože operací odmocňování se nemůžeme dostat k nulové limitě, vyhovuje pouze limita rovna 4. Tato posloupnost bude tedy zdola omezena svou limitou.
V případě rostoucí posloupnosti se ale ještě nějak musí dokázat omezenost shora.
Pokud bude $u_{0}=u_{1}=0$, bude limita rovna nule.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson