Matematické Fórum

ocas123

Zdravím, jak na to? Matematickou indukci jakž takž zvládám u jednodušších příkladů, ale nevím co s tím tady.

Dokažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí nerovnost:

$(1+\frac{1}{3})^n \ge 1 + \frac{n}{3}$

1. krok

$n = 1$
$\frac{4}{3} \ge _{} \frac{4}{3}$

2. krok

$n = k$
$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

3. krok

$n = k+1$
$(1+\frac{1}{3})^{k+1} \ge 1 + \frac{k+1}{3}$

Ale nevím co teď, jak provést indukční krok? Mám dobře dosazené?

Díky za každou radu.

vlado_bb · 26. 08. 2019 12:15

↑ ocas123: Je nevyhnutne pouzivat indukciu? Nerovnost je totiz ocividnym dosledkom Bernoulliho nerovnosti.

jarrro · 26. 08. 2019 12:22 — Editoval jarrro (26. 08. 2019 12:24)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ocas123

↑ vlado_bb:
Bohužel, je to přímo zadáno jako příklad na indukci.

↑ jarrro:
Děkuju! Jen z toho nevidím, co jsi udělal s tou umocněnou závorkou?

vlado_bb

↑ ocas123: V nerovnosti $$1+\frac{1}{3}$^{k+1} \ge \frac{4}{3}$1 + \frac{k}{3}$$ vyuzil ↑ jarrro: indukcny predpoklad. Po minute uvazovania zistis, ako.

ocas123 · 26. 08. 2019 18:23

Snažím se na to přijít, ale pořád nevím.
Nevím, kde vzal ty $\frac{4}{3}$ a ani ty další zlomky.

vlado_bb · 26. 08. 2019 19:34

↑ ocas123: $1+\frac 13 = \frac 43$

ocas123

Nevím, stále nerozumím tomu, jak dostal ty zlomky z té závorky umocněné na k+1.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-08/07527_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

A čumím na to už druhý den, zřejmě je to jednoduché, ale já to prostě nevidím.

jarrro · 27. 08. 2019 14:39 — Editoval jarrro (27. 08. 2019 15:15)

↑ ocas123: $\frac{4}{3}\cdot1=1+\frac{1}{3}\nl\frac{4}{3}\cdot\frac{k}{3}=\frac{k}{3}\cdot1+\frac{k}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{k}{3}+\frac{k}{9}\nl \frac{1}{3}+\frac{k}{3}=\frac{k+1}{3}\nl \frac{k}{9}\ge0$

ocas123 · 28. 08. 2019 11:15

Tak už jsem na to přišel.

n = k

$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

n = k + 1

$(1+\frac{1}{3})^{k+1} \ge \frac{4}{3}(1 + \frac{k}{3})$
$(1+\frac{1}{3})^{k} \cdot (1+\frac{1}{3}) \ge \frac{4}{3}(1 + \frac{k}{3})$
$(1+\frac{1}{3}) \ge \frac{4}{3}$

vlado_bb

↑ ocas123: Ako skusajuci by som toto neuznal, chyba tam slovny komentar. Dokaz je postupnost vyrokov, nie formul. Navyse, tieto upravy ani nie su spravne, teda pokial ich chapeme ako implikacie.

ocas123 · 28. 08. 2019 15:11

Jak to, že nejsou správné?
Rozdělil jsem tu závorku a z druhého kroku jsem použil tu ekvivalenci
$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

Našel jsem si v sešitě podobný příklad, který jsme tímto způsobem řešili přímo na přednášce.

vlado_bb · 28. 08. 2019 19:35

↑ ocas123: Doplň podrobný slovný komentár a sám uvidíš v čom je chyba. Teraz tvoj dôkaz končí nerovnosťou $1+\frac 13\ge \frac 43$ a to sme určite dokazovať nechceli.

ocas123

"Dokažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí nerovnost."
$(1+\frac{1}{3})^n \ge 1 + \frac{n}{3}$

Toto je zadání.

A to jsem tím třetím krokem přece dokázal, ne? Indukční krok byl při tom, kdy jsem rozdělil tu závorku a vyřadil to, co už jsem měl ve druhém kroku. Indukční krok je ten, že mohu toto:
$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

Využít u toho třetího kroku (k+1) a z obou stran nerovnice to dát pryč.

vlado_bb · 28. 08. 2019 20:53

↑ ocas123: Ak teda spravne rozumiem, vychadzas z nerovnosti $a \ge b$ (indukcny predpoklad). Na tomto zaklade z nerovnosti $ac \ge bd$ dostavas $c \ge d$ . Je to tak? Toto ale nie je pravda, staci vziat napriklad $a = 2, b = 1, c=3, d=4$ .

Ak treba dalsie rady, budu az po prezentacii tvojho riesenia s podrobnym slovnym komentarom.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2019 11:55 — Editoval ocas123 (26. 08. 2019 11:56)

Matematická indukce (výraz s exponentem)

#2 26. 08. 2019 12:15

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#3 26. 08. 2019 12:22 — Editoval jarrro (26. 08. 2019 12:24)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#4 26. 08. 2019 14:07 — Editoval ocas123 (26. 08. 2019 14:12)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#5 26. 08. 2019 14:23 — Editoval vlado_bb (26. 08. 2019 14:24)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#6 26. 08. 2019 18:23

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#7 26. 08. 2019 19:34

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#8 27. 08. 2019 14:05 — Editoval ocas123 (27. 08. 2019 14:06)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#9 27. 08. 2019 14:39 — Editoval jarrro (27. 08. 2019 15:15)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#10 28. 08. 2019 11:15

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#11 28. 08. 2019 11:57 — Editoval vlado_bb (28. 08. 2019 12:30)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#12 28. 08. 2019 15:11

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#13 28. 08. 2019 19:35

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#14 28. 08. 2019 19:58 — Editoval ocas123 (28. 08. 2019 19:59)

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

#15 28. 08. 2019 20:53

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

Zápatí