Matematické Fórum

vanok · 22. 09. 2019 11:49 — Editoval vanok (25. 09. 2019 21:34)

Dokazte, ze rovnica $8x^3-4 x^2-4x+1=0$ ma tieto tri korene
$\cos (\frac {\pi }7)$
$\cos (\frac {3\pi }7)$
$\cos (\frac {5\pi }7)$ .

vanok · 22. 09. 2019 13:49

Poznamka.
Tuto rovnicu najdete aj tu http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi7.html .
Tiez som ju pouzil aj tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=105534 na #3.

vanok · 22. 09. 2019 19:51 — Editoval vanok (25. 09. 2019 21:46)

Zaciatok riesenia:
Uz aj cvicenie z https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=105534 da:
$\cos (\frac {\pi }7)$ je riesenie danej rovnice v #1. ( co tu podrobne ukazeme)
Mame ze $\sin (\frac {3\pi }7)=\sin (\frac {4\pi }7)$ ,
a to preto, ze $\frac {3\pi +4\pi}7=\pi$ .
To nam da okamzite, ze
$3\sin (\frac {\pi }7)-4\sin ^3(\frac {\pi }7)= 2\sin (\frac {2\pi }7).\cos(\frac {2\pi }7)=4\sin(\frac {\pi }7)\cos (\frac {\pi }7)\cos(\frac {2\pi }7)$

Posledny vyraz mozme vydelit nenulovym cislom $\sin (\frac {\pi }7)$ , co nam po malej uprave da
$3-4(1-\cos ^2(\frac {\pi }7))=4\cos (\frac {\pi }7)(2\cos^2(\frac {\pi }7)-1)$
a konecne
$8\cos^3(\frac {\pi }7)-4\cos^2(\frac {\pi }7)-4\cos(\frac {\pi }7)+1=0$

Co znamena, ze $\cos (\frac {\pi }7)$ je jeden koren rovnice $8x^3-4 x^2-4x+1=0$ .

Ako by ste dokazali, ze $\cos (\frac {3\pi }7)$ ako aj $\cos (\frac {5\pi }7)$ su dalsie korene danej rovnice?

vanok · 23. 09. 2019 12:19

Hint: pouzite Viète-ove relacie.

vanok · 24. 09. 2019 10:35 — Editoval vanok (25. 09. 2019 11:49)

Co znamena, ze treba dokazat :
$\cos (\frac {\pi }7).\cos (\frac {3\pi }7).\cos (\frac {5\pi }7)=-\frac 18$ (A)
$\cos (\frac {3\pi }7).\cos (\frac {\pi }7)+\cos (\frac {5\pi }7).\cos (\frac {3\pi }7)+\cos (\frac {\pi }7).\cos (\frac {5\pi }7)=-\frac 12$ (B)
$\cos (\frac {\pi }7)+\cos (\frac {3\pi }7)+\cos (\frac {5\pi }7)=\frac12$ (C).

vanok · 24. 09. 2019 12:58 — Editoval vanok (28. 09. 2019 01:35)

Dokaz vlasnosti (A).
Tu staci pouzit, ze $\sin (2a)=2\sin(a)\cos(a)$ , $\sin (\frac {8\pi }7)=-\sin (\frac {\pi }7)$ ako aj $\cos (\frac {3\pi}7)=-\cos (\frac{4\pi}7)$ a $\cos (\frac {5\pi}7)=-\cos (\frac{2\pi}7)$