Matematické Fórum

Ke 2. příkladu:
Z rovnice
-1   2  -3                5  -7  2
-2  -3   8    . X    = -3  4  -6
3    4  -12              0  -3   5

tj. A*X  = B

sestavíme matici

-1   2  -3     5  -7  2
-2  -3   8    -3  4  -6
3    4  -12   0  -3   5,

a tu upravíme (pokud h(A) = 3) pomocí Gaussovy eliminační metody (nesmíme ale zaměňovat sloupce) do tvaru

1   0   0    a  b  c
0   1   0    d  e  f
0   0   1    g  h  i .

Potom bude

        a  b  c
X =   d  e  f
        g  h  i .

Jestliže h(A) < 3, pak je situace složitějsí  - řešení buďto neexistuje, nebo není určeno jednoznačně
(nutno pak trochu pouvažovat.)

↑ Johny:
Ano, to je také možnost. Inversní matici však je nutno nejdříve nalézt. Na to existuje vzorec pomocí algebraických doplňků,
nebo lze použít metodu z mého předchozího příspěvku, v níž se místo matice B vezme jednotková matice
        1 0 0
E =   0 1 0
        0 0 1  .

Použiji-li však rovnou matici B, pak to mám "na jeden zátah" a nemusím pak už provádět operaci  A^-1 * B
(v tuto chvíli si nejsem jist, zda je to totéž, co B*A^-1, třeba to někdo vyjasní).

↑ Rumburak: Násobení matic není obecně komutativní, takže pro je nutně a nikoli (původní rovnice se maticí násobí zleva).

↑ Rumburak: Ještě jsem teda neslyšel, že determinant je algebraický výraz. Dále vždy vystačíme s jednou metodou výpočtu determinantu, otázkou však je čas a úsilí k jeho výpočtu. Pro počítání na papíře je vhodné kombinovat (jak zmiňuje ↑ Rumburak:): rozvoj podle řádků/sloupců (Laplaceův rozvoj), řádkové a sloupcové úpravy (Gaussova(-Jordanova) eliminace), základní vzorečky pro determinant 2. a 3. řádu (Sarusovo pravidlo). Toť pro případ, že nás skutečně zajímá jen determinant a ne třeba celé matice.

V originálním příkladu od ↑ kotry: bych jako poměrně rychlou cestu volil toto:

1. Přičíst (-1)-násobek druhého řádku k prvnímu (tím dostaneme dvě nuly v prvním řádku)
2. Laplaceův rozvoj podle 3. řádku: Budou to vlastně jen znaménka, parametry a,b,c,d a 4 matice (bez parametrů) 3. řádu, kde dvě z nich budou mít v prvním řádku dvě nuly a dvě z nich nulu aspoň jednu.

↑ Rumburak: Ale já nechci slovíčkařit, ani začínat nikam nevedoucí diskuze. Na SŠ se pod pojmem algebraický výraz označuje všechno, co obsahuje nějaké počítání, třeba právě tebou naznačené . No a běžně používané metody na vyčíslení determinantu nějaké matice jsou poměrně vzdáleny úpravě takového algebraického výrazu (byť jde ve finále vlastně o totéž).