Matematické Fórum

kotry · 01. 06. 2009 10:18 — Editoval kotry (01. 06. 2009 10:18)

Zdravím, neporadí někdo jak vypočítat tyhle příklady?
determinant z takovéto matice

4 1 1 1
1 4 1 1
a b c d
1 1 1 4

a takovouhle rovnici...

-1 2 -3 5 -7 2
-2 -3 8 . X = -3 4 -6
3 4 -12 0 -3 5

X je matice kterou se ta prvni nasobi.
Asi je to úplně triviální, ale nemůžu na to přijít. stačil by mi jen postup nebo návod jak to počítat...

Rumburak · 01. 06. 2009 11:06

Ke 2. příkladu:
Z rovnice
-1 2 -3 5 -7 2
-2 -3 8 . X = -3 4 -6
3 4 -12 0 -3 5

tj. A*X = B

sestavíme matici

-1 2 -3 5 -7 2
-2 -3 8 -3 4 -6
3 4 -12 0 -3 5,

a tu upravíme (pokud h(A) = 3) pomocí Gaussovy eliminační metody (nesmíme ale zaměňovat sloupce) do tvaru

1 0 0 a b c
0 1 0 d e f
0 0 1 g h i .

Potom bude

a b c
X = d e f
g h i .

Jestliže h(A) < 3, pak je situace složitějsí - řešení buďto neexistuje, nebo není určeno jednoznačně
(nutno pak trochu pouvažovat.)

Johny · 01. 06. 2009 11:28

↑ Rumburak:

-1 2 -3 5 -7 2
-2 -3 8 . X = -3 4 -6
3 4 -12 0 -3 5

tj. A*X = B

Nestačí spíš inverzní matice k A. Tedy X = B*A^-1. Ale nejsem si jisty.

Rumburak · 01. 06. 2009 11:52

↑ Johny:
Ano, to je také možnost. Inversní matici však je nutno nejdříve nalézt. Na to existuje vzorec pomocí algebraických doplňků,
nebo lze použít metodu z mého předchozího příspěvku, v níž se místo matice B vezme jednotková matice
1 0 0
E = 0 1 0
0 0 1 .

Použiji-li však rovnou matici B, pak to mám "na jeden zátah" a nemusím pak už provádět operaci A^-1 * B
(v tuto chvíli si nejsem jist, zda je to totéž, co B*A^-1, třeba to někdo vyjasní).

kotry · 01. 06. 2009 12:06

↑ Rumburak:

počítal jsem to tou 1. možností a vyšlo mi to, díky!
je to asi nejjednodušší způsob, alespoň na zapamatování

nevíte co s tím determinantem ?

musixx · 01. 06. 2009 12:17 — Editoval musixx (01. 06. 2009 12:18)

↑ Rumburak: Násobení matic není obecně komutativní, takže pro $AX=B$ je nutně $X=A^{-1}\cdot B$ a nikoli $X=B\cdot A^{-1}$ (původní rovnice se maticí $A^{-1}$ násobí zleva).

Rumburak · 01. 06. 2009 13:20

↑ musixx:
Děkuji za doplnění, matice jsem už dlouho neviděl ...

↑ kotry:
Na ten determinant neexistuje žádný zázračně jednoduchý způsob výpočtu. Existují různé metody úpravy determinantu
jakožto algebraického výrazu a mélokdy vystačíme pouze s jedinou z nich. Je třeba se jim naučit a používat je pak
kombinovaně podle konkretní situace.

musixx · 01. 06. 2009 13:30

↑ Rumburak: Ještě jsem teda neslyšel, že determinant je algebraický výraz. Dále vždy vystačíme s jednou metodou výpočtu determinantu, otázkou však je čas a úsilí k jeho výpočtu. Pro počítání na papíře je vhodné kombinovat (jak zmiňuje ↑ Rumburak:): rozvoj podle řádků/sloupců (Laplaceův rozvoj), řádkové a sloupcové úpravy (Gaussova(-Jordanova) eliminace), základní vzorečky pro determinant 2. a 3. řádu (Sarusovo pravidlo). Toť pro případ, že nás skutečně zajímá jen determinant a ne třeba celé matice.

V originálním příkladu od ↑ kotry: bych jako poměrně rychlou cestu volil toto:

1. Přičíst (-1)-násobek druhého řádku k prvnímu (tím dostaneme dvě nuly v prvním řádku)
2. Laplaceův rozvoj podle 3. řádku: Budou to vlastně jen znaménka, parametry a,b,c,d a 4 matice (bez parametrů) 3. řádu, kde dvě z nich budou mít v prvním řádku dvě nuly a dvě z nich nulu aspoň jednu.

Rumburak

↑ musixx:
Jestliže je dána číselná matice $A = (a_{i,j})$ typu $[n,n]$ , pak máš dojem, že
$\det A \,\,:=\sum_{f \in P(n)}^{}\text{sign} (f) \cdot \prod_{i=1}^{n}a_{i,f(i)}$ (kde P(n) a sign(f) jsou vhodně definovány)
není algebraickým výrazem ?

musixx · 01. 06. 2009 14:02

↑ Rumburak: Ale já nechci slovíčkařit, ani začínat nikam nevedoucí diskuze. Na SŠ se pod pojmem algebraický výraz označuje všechno, co obsahuje nějaké počítání, třeba právě tebou naznačené $\sum_{f \in P(n)}^{b}\text{sign} (f) \cdot \prod_{i=1}^{n}a_{i,f(i)}$ . No a běžně používané metody na vyčíslení determinantu nějaké matice jsou poměrně vzdáleny úpravě takového algebraického výrazu (byť jde ve finále vlastně o totéž).

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2009 10:18 — Editoval kotry (01. 06. 2009 10:18)

Determinant matice, rovnice matice

#2 01. 06. 2009 11:06

Re: Determinant matice, rovnice matice

#3 01. 06. 2009 11:28

Re: Determinant matice, rovnice matice

#4 01. 06. 2009 11:52

Re: Determinant matice, rovnice matice

#5 01. 06. 2009 12:06

Re: Determinant matice, rovnice matice

#6 01. 06. 2009 12:17 — Editoval musixx (01. 06. 2009 12:18)

Re: Determinant matice, rovnice matice

#7 01. 06. 2009 13:20

Re: Determinant matice, rovnice matice

#8 01. 06. 2009 13:30

Re: Determinant matice, rovnice matice

#9 01. 06. 2009 13:51 — Editoval Rumburak (01. 06. 2009 14:03)

Re: Determinant matice, rovnice matice

#10 01. 06. 2009 14:02

Re: Determinant matice, rovnice matice

Zápatí