Matematické Fórum

Andrew123 · 09. 10. 2019 20:11

Ahoj,
mám následující příklad:

Dokažte indukcí vzorec pro pravděpodobnost sjednocení $r$ navzájem se vylučujících jevů.

Jedná se o příklad z učebnice matematiky pro gymnázia, jehož řešení tam ale není uvedeno a na netu jsem ho nenašel. Byl bych rád, kdyby mi ho mohl někdo zkontrolovat, popřípadě okomentovat/opravit. Moje řešení je následujíci:

Krok 1:
Pro r=1 platí následuící:
$P(A_1)=P(A_1)$
A pro r=2 platí následující:
$P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)$
Krok 2:
Předpokládejme, že věta platí pro nějaké $r=k$ , platí tedy:
$P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)$
Za tohoto předpokladu dokážeme, že platí věta pro $r=k+1$ :
Víme, že
$P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k\cup A_{k+1})=P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k)+P(A_{k+1})$
Podle indukčního předpokladu můžeme psát:
$P(A_1\cup A_2\cup...\cup A_k\cup A_{k+1})=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)+P(A_{k+1})$
Tím je platnost věty dokázána.

K tomuto příkladu mám dvě následující otázky:
a) Matematická indukce vždy začíná (co já vím) tím, že ukážu, že platnost je zaručena pro $r=1$ . Lze v tomto případě tento krok přeskočit a začít tím, že platnost platí pro $r=2$ ? Pro $r=1$ je to jen opsaná rovnost. Jak je to v obecném případě? Čím se začíná?
b) Na webu jsem našel publikace, ve kterých tento vztah (pro $r>2$ ) nedokazují a přímo říkají, že to platí. Je to uvedeno jako definice nebo i jako axiom, který se nedokazuje. Je tedy potřeba uvedený vztah opravdu dokazovat? Jaký je rozdíl mezi tím, když si stanovím, že to platí pro dva jevy nebo $r$ jevů? Chápu, že $2$ jevy jsou méně než $r$ jevů a měli bychom jít od elementárních poznatků ke složitějším, ale velký rozdíl v tom tady nevidím a takňák chápu, že když to platí pro 2, tak to musí platit i pro $r$ navzájem se vylučujícch se jevů.

krakonoš · 10. 10. 2019 11:14

↑ Andrew123:
Trvat na tom, že indukce začíná vždy n=1 je nesmysl. Indukce začíná tím krokem, kdy prostě dokazovaný vztah začínä platit. Jde o nastartování jistého řetězce , a pak už stačí obecně předpokládat pro n, dokázat pro n+1.
Nemáme však důkazy jen matematickou indukcí, mnohdy lze použít i přímý např. důkaz. Možná i zde se uvažovalo, že to lze brát i tak, že vezmu dva jevy, ty sjednotím , vznikne tak nový jev, který má svou pravděpodobnost, která je rovna součtu pravděpodobností těch dvou elementárních jevů, takže vlastně mám nový jeden jev s určitou pravděpodobností a přidäm další jev a takto pokračuji.
Co se týče té indukce, píšeš, že to má smysl až od 2 jevů, když je řeč o sjednocení.
Indukci lze podle mě brát i podle počtu sjednocení, kterých je o jednu méně než jevů.
Pak by to začínalo n=1.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2019 20:11

Sčítání pravděpodobností - sjednocení navzájem se vylučujících jevů

#2 10. 10. 2019 11:14

Re: Sčítání pravděpodobností - sjednocení navzájem se vylučujících jevů

Zápatí